Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.3 - Ex. 20
Determine se a série é convergente ou divergente.
20-
Passo 1
Lembra que há algumas questões atrás nós conversamos que o teste da integral é válido somente onde a função é contínua?
Então ... aqui essa definição fará diferença. Pois precisamos encontrar essa região, afinal qual intervalo de é válido para essa função?
E encontramos a região onde a função cresce ou decresce fazendo a derivada dessa função no domínio de nós teremos:
Pela regra do quociente:
A função será decrescente quando sua primeira derivada for negativa, ou seja:
Em suma qualquer será decrescente.
E com não existe , então começa em e vai até infinito de maneira contínua.
Tal como pode se ver no gráfico da sequência abaixo:
A boa prática, é fazer esse procedimento em toda a questão mas as vezes já sabemos como essa função se comporta sem precisar do teste, então recomendo fazer esse procedimento caso sinta alguma insegurança.
Passo 2
A integral que devemos resolver para o teste será então de:
Pois se considerarmos o intervalo área anterior indo de até infinito nós teremos um problema, já que 0 não será um número válido.
Fazendo por integração por partes temos:
Onde escolheremos:
Logo:
Passo 3
Aplicando o intervalo nós temos:
Aplicando L’Hopital em temos:
Então
O que deixa nosso intervalo como:
Logo a série converge. Uma vez que a integral converge para um número finito, uma vez que ela nos retorna um valor maior que a somatória para somente os inteiros.
Resposta
Série convergente.