Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente.

20-

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n   n 2

Passo 1

Lembra que há algumas questões atrás nós conversamos que o teste da integral é válido somente onde a função é contínua?

Então ... aqui essa definição fará diferença. Pois precisamos encontrar essa região, afinal qual intervalo de n é válido para essa função?

E encontramos a região onde a função cresce ou decresce fazendo a derivada dessa função no domínio de x nós teremos:

d d x ln ⁡ x x 2

Pela regra do quociente:

( ln ⁡ x ) ' ×   x 2 - ( ln ⁡ x   ) × ( x 2 ) ' x 2 2 = 1 x × x 2 - 2 x l n   x x 4 = 1 - 2 ln ⁡ x x 3

A função será decrescente quando sua primeira derivada for negativa, ou seja:

1 - 2 ln ⁡ x x 3 < 0

1 - 2 ln ⁡ x < 0

1 < 2 ln ⁡ x

x > e 1 2 ≈ 1.649

Em suma qualquer n > 2 será decrescente.

E com não existe ln ⁡ 0 , então n começa em 1   e vai até infinito de maneira contínua.

Tal como pode se ver no gráfico da sequência abaixo:

A boa prática, é fazer esse procedimento em toda a questão mas as vezes já sabemos como essa função se comporta sem precisar do teste, então recomendo fazer esse procedimento caso sinta alguma insegurança.

Passo 2

A integral que devemos resolver para o teste será então de:

∫ 1 ∞ ln ⁡ x x 2   d x

Pois se considerarmos o intervalo área anterior indo de 0 até infinito nós teremos um problema, já que 0 não será um número válido.

Fazendo por integração por partes temos:

∫ u   d v = u v - ∫ v d u

Onde escolheremos:

u = ln ⁡ x     ;     d u = 1 x

d v = 1 x 2 ; v = - 1 x      

Logo:

∫ ln ⁡ x x 2 d x = - ln ⁡ x x - ∫ - 1 x 2 = - ln ⁡ x x - 1 x

Passo 3

Aplicando o intervalo nós temos:

lim x → ∞ ⁡ - ln ⁡ x x - 1 x - ln ⁡ 1 1 - 1 1

Aplicando L’Hopital em ln ⁡ x x temos:

( ln ⁡ x ) ' x ' = 1 x

Então lim x → ∞ ⁡ - ln ⁡ x x = lim x → ∞ ⁡ - 1 x = 0

O que deixa nosso intervalo como:

- 0 - 0 - ln ⁡ 1 1 - 1 = 1

Logo a série converge. Uma vez que a integral converge para um número finito, uma vez que ela nos retorna um valor maior que a somatória para somente os n inteiros.

Resposta

Série convergente.

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