Enunciado

Determine se a série

∑ n = 1 ∞ 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ 2 n n !

é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Fala aí, pessoal!

A questão nos pede para determinar se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Uma série é chamada absolutamente convergente se a soma de seus termos em módulo for convergente, isto é, se nós pegarmos a soma dos valores absolutos dos infinitos termos da série dada e essa soma for um número real, a série é chamada de absolutamente convergente.

Por outro lado, ela é chamada de condicionalmente convergente se ela convergir, ou seja, se a soma tender a um número real, mas, ao mesmo tempo, não for absolutamente convergente.

Por último, a série é divergente se a soma de seus termos tender ao infinito positivo ou negativo.

Existe um teorema que diz o seguinte: se uma série ∑ a n for absolutamente convergente, então ela é convergente.

E, para determinarmos se uma série é absolutamente convergente, nós usaremos o Teste da Razão, que diz o seguinte:

  1. Se lim n → ∞ ⁡   a n + 1 a n = L < 1 , então a série é absolutamente convergente e, portante, converge.
  2. Se lim n → ∞ ⁡   a n + 1 a n = L > 1 ou se lim n → ∞ ⁡   a n + 1 a n = ∞ , então a série dada é divergente.
  3. Se lim n → ∞ ⁡   a n + 1 a n = L = 1 , nós não conseguimos afirmar por este teste se a série é convergente ou não.

Nós usaremos este teste para concluir se a série dada é absolutamente convergente ou não.

Passo 2

Então, pessoal, vamos determinar a expressão para a divisão absoluta a n + 1 a n para nós podermos usar o Teste da Razão.

A expressão do n-ésimo termo da série nos foi dado na questão:

a n =   2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ 2 n n !

Nós podemos ver que o numerador de an é o produto dos n primeiros números pares positivos e o denominador é o produto dos n primeiros inteiros positivos. Dessa forma, nós podemos reescrever a expressão do termo da série da seguinte maneira:

a n = 2 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 2 ⋅ n n !

Observe que o número 2 está sendo multiplicado n vezes no numerador. Assim, segue que:

a n = 2 n 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ n n !

Mas, por definição, o produto 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ n é igual a n ! . Portanto, temos que:

a n = 2 n n ! n ! = 2 n

Nós determinamos o (n + 1)-ésimo termo substituindo n por n + 1 na expressão de an:

a n + 1 =   2 n + 1 .

Galera, veja que tanto a n quanto a n + 1 são números positivos, pois estamos multiplicando o número 2 n e n + 1 vezes nessas expressões, respectivamente. Logo, a razão a n + 1 a n é positiva e seu módulo não altera seu sinal.

Assim, temos que:

a n + 1 a n = a n + 1 a n = 2 n + 1 2 n = 2 n ⋅ 2 1 2 n = 2

Passo 3

Determinada a razão a n + 1 a n , precisamos determinar seu limite quando n tende ao infinito. Veja que, por se tratar de uma constante, o valor de a n + 1 a n é sempre igual a 2, independente do valor de n. Logo,

lim n →  ∞ ⁡ a n + 1 a n = 2 > 1

E segue do Teste da Razão que a série dada é divergente.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Razão.

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