Enunciado

Por volta de 1910, o matemático indiano Srinivasa Ramanujan descobriu a fórmula

1 π = 2 2 9801 ∑ n = 0 ∞ 4 n ! ( 1103 + 26390 n ) n ! 4 396 4 n

William Gosper usou esta série em 1985 para calcular os primeiros 17 milhões de algarismos de π .

(a) Verifique que a série é convergente.

(b) Quantas casas decimais corretas de π você obtém se usar apenas o primeiro termo da série? E se usar dois termos?

Passo 1

(a) Galera, pra verificar que a série é convergente, vamos usar o Teste da Razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 4 n + 4 ! 1103 + 26390 n + 26390 n ! 4 396 4 n 4 n ! 1103 + 26390 n n + 1 ! 4 396 4 n + 4 = lim n → ∞ ⁡ ( 4 n + 4 ) ( 4 n + 3 ) ( 4 n + 2 ) ( 4 n + 1 ) ( 1103 + 26390 n + 26390 ) 1103 + 26390 n n + 1 4 396 4 = 4 4   .   26390 26390   .   1 4   .   396 4 = 4 396 4 < 1

Isso mostra que a série é convergente.

Passo 2

(b) Se usarmos uma calculadora, obteremos:

s 1 = 3,14159273 …

s 2 = 3,14159265358979387 …

Ou seja, teremos 6 casas decimais corretas usando apenas o primeiro termo da série, e 15 casas decimais corretas se usarmos dois termos.

Resposta

(b) 6 casas decimais; 15 casas decimais.

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