Enunciado

Determine a solução:

c ) overset(¨)(x) + overset(˙)(x) + 2 x = 0 , x (0) = 1 e overset(˙)(x) (0) = 1

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que x = e^(lambda t) -> overset(˙)(x) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(x) = lambda^2 e^(lambda t) , assim:

overset(¨)(x) + overset(˙)(x) + 2 x = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) + lambda e^(lambda t) + 2 lambda + e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 + lambda + 2) = 0

e^(lambda t) (lambda^2 + lambda + 2) = 0 -> lambda^2 + lambda + 2 = 0

Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:

lambda^' e lambda " = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

Para o caso dado só temos a = 1 , b = 1 e c = 2 , assim:

lambda^' e lambda " = (- 1 +- sqrt(1^2 - 4 (1) (2)))/(2 (1)) = - (1)/(2) +- (sqrt(- 7))/(2)

Passo 2

Como bem sabemos, não podemos ter valores negativos dentro da raíz para valores reais, para que faça sentido vamos lembrar que i^2 = - 1 :

- (1)/(2) +- (sqrt(7 i^2))/(2) = - (1)/(2) +- (sqrt(7 ( i )^2))/(2) = - (1)/(2) +- (sqrt(7))/(2) i

Passo 3

Identificados os valores de lambda , podemos Agora reescrever o x pelo teorema que diz que se temos duas raízes lambda_1 e lambda_2 da equação característica (ou seja, a função lambda^2 + b lambda + c = 0 ), então se lambda_1 e lambda_2 são números complexos podemos afirmar que:

x (t) = e^(alpha t) [A cos beta t + B sin beta t] (A , B ϵ R)

Lembrando que: lambda = alpha +- beta i

Para o nosso caso: alpha = - (1)/(2) e beta = (sqrt(7))/(2)

Assim, substituindo os valores de alpha e beta :

x (t) = e^(- (1)/(2) t) [A cos (sqrt(7))/(2) t + B sin (sqrt(7))/(2) t]

Passo 4

Agora que temos x (t) podemos achar os valores de A e B usando x (0) e o overset(˙)(x) ( 0 ) .

Para isso precisamos achar o overset(˙)(x) (t) .

overset(˙)(x) (t) = (d (x (t)))/(d t) = (d (e^(- (1)/(2) t) [A cos (sqrt(7))/(2) t + B sin (sqrt(7))/(2) t]))/(d t) =

= - (1)/(2) e^(- (1)/(2) t) [A cos (sqrt(7))/(2) t + B sin (sqrt(7))/(2) t] + e^(- (1)/(2) t) [- (sqrt(7))/(2) A sin (sqrt(7))/(2) t + (sqrt(7))/(2) B cos (sqrt(7))/(2) t] =

= e^(- (1)/(2) t) [- (1)/(2) (A cos (sqrt(7))/(2) t + B sin (sqrt(7))/(2) t) + (sqrt(7))/(2) (B cos (sqrt(7))/(2) t - A sin (sqrt(7))/(2) t)]

= e^(- (1)/(2) t) [- (1)/(2) A cos (sqrt(7))/(2) t - (1)/(2) B sin (sqrt(7))/(2) t + (sqrt(7))/(2) B cos (sqrt(7))/(2) t - (sqrt(7))/(2) A sin (sqrt(7))/(2) t] =

e^(- (1)/(2) t) [cos (sqrt(7))/(2) t ((sqrt(7))/(2) B - (1)/(2) A) + sin (sqrt(7))/(2) t (- (sqrt(7))/(2) A - (1)/(2) B)]

Ou seja, overset(˙)(x) (t) = e^(- (1)/(2) t) [cos (sqrt(7))/(2) t ((sqrt(7))/(2) B - (1)/(2) A) + sin (sqrt(7))/(2) t (- (sqrt(7))/(2) A - (1)/(2) B)]

Passo 5

Substituindo o 0 em x (t) e overset(˙)(x) ( t ) , teremos:

x (0) = e^(- (1)/(2) t) [A cos (sqrt(7))/(2) t + B sin (sqrt(7))/(2) t] = e^(- (1)/(2) xx 0) [A cos 0 + B sin 0] =

= A xx 1 + B xx 0 = A -> A = 1

overset(˙)(x) (0) = e^(- (1)/(2) t) [cos (sqrt(7))/(2) t ((sqrt(7))/(2) B - (1)/(2) A) + sin (sqrt(7))/(2) t (- (sqrt(7))/(2) A - (1)/(2) B)]

= e^(- (1)/(2) xx 0) [cos 0 ((sqrt(7))/(2) B - (1)/(2) A) + sin 0 (- (sqrt(7))/(2) A - (1)/(2) B)] =

= 1 xx ((sqrt(7))/(2) B - (1)/(2) A) + 0 xx (A (sqrt(7))/(2) - B) = (sqrt(7))/(2) B - (1)/(2) A -> (sqrt(7))/(2) B - (1)/(2) A = 1 ->

-> sqrt(7) B - 1 A = 2 -> B = (2 + 1 A)/(sqrt(7)) = (2 + 1)/(sqrt(7)) = (3 sqrt(7))/(7)

B = (3 sqrt(7))/(7)

Substituindo em x (t) :

x (t) = e^(- (1)/(2) t) [cos (sqrt(7))/(2) t + (3 sqrt(7))/(7) sin (sqrt(7))/(2) t]

Resposta

x (t) = e^(- (1)/(2) t) [cos (sqrt(7))/(2) t + (3 sqrt(7))/(7) sin (sqrt(7))/(2) t]

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a equação diferencial.2 (d^2 y)/(d t^2) + 2 (2 d y)/(d t) - y = 0