Se usarmos, para esse caso que 
 x = e λ t → x ˙ = λ e λ t → x ¨ = λ 2 e λ t  
 
 
 
  
 
 
  
 
 
  
 
 
  
 
  
 
  
 
 
 , assim:
 x ¨ + x ˙ + 2 x = 0 → λ 2 e λ t + λ e λ t + 2 λ + e λ t = e λ t λ 2 + λ + 2 = 0 
 
 
  
 
  
 
  
 
 
 
  
 
 
 
  
 
 
 
  
 
 
  
  
  
 
 e λ t λ 2 + λ + 2 = 0 → λ 2 + λ + 2 = 0 
 
 
  
 
  
  
 
  
  
 
Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:
 λ ' e   λ " =   - b ± b 2 - 4 a c 2 a  
 
 
 
 
  
 
 
  
 
 
 
 
Para o caso dado só temos 
 a = 1 ,   b = 1   e   c = 2 
 
  
 , assim:
 λ ' e   λ " =   - 1 ± 1 2 - 4 1 2 2 1 = - 1 2 ± - 7 2     
 
 
 
 
 
  
  
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
  
 
 
 
Passo 2
Como bem sabemos, não podemos ter valores negativos dentro da raíz para valores reais, para que faça sentido vamos lembrar que 
 i 2 = - 1 
 
  
 :
 - 1 2 ± 7 i 2 2 = - 1 2 ± 7 ( i ) 2 2 = - 1 2 ± 7   2 i   
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
  
 
 
 
 
 
  
  
 
  
 
Passo 3
Identificados os valores de
   λ 
 
  
 , podemos Agora reescrever o 
 x 
 
  
  pelo teorema que diz que se temos duas raízes 
 λ 1   e   λ 2  
 
 
  
 
  da equação característica (ou seja, a função 
 λ 2 + b λ + c = 0 
 
  
 ), então se 
 λ 1 e   λ 2  
 
 
  
 
  são números complexos podemos afirmar que:
 x t = e α t A cos  β t + B sin  β t   A ,   B   ϵ R  
 
 
  
 
 
  
 
 
 
 
  
 
 
 
  
 
 
  
 
  
  
 
 
Lembrando que: 
 λ = α ±   β i 
 
  
 
Para o nosso caso: 
 α = - 1 2   e   β = 7 2  
 
 
 
 
 
  
  
 
 
 
Assim, substituindo os valores de 
 α   e   β 
 
  
 :
 x t = e - 1 2 t A cos  7 2 t + B sin  7 2 t    
 
 
  
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
  
  
  
 
 
 
  
  
  
 
 
  
 
 
Passo 4
Agora que temos 
 x t  
 
 
  
 
  podemos achar os valores de 
 A   e   B 
 
  
  usando 
 x 0 e   o   x ˙ ( 0 ) 
 
 
  
 
  
  
 .
Para isso precisamos achar o 
 x ˙ t  
 
 
  
 
 .
 x ˙ t = d x t d t = d e - 1 2 t A cos  7 2 t + B sin  7 2 t   d t = 
 
 
  
 
 
 
 
  
 
  
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
  
  
  
 
 
 
  
  
  
 
 
  
 
  
 
  
 
 
  
 
 = - 1 2 e - 1 2 t A cos  7 2 t + B sin  7 2 t + e - 1 2 t - 7 2 A sin  7 2 t + 7 2 B cos  7 2 t  
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
  
  
  
 
 
 
  
  
  
 
 
  
 
 
 
 
 
  
 
 
 
  
  
 
 
 
  
  
  
 
 
  
  
 
 
 
  
  
  
 
 
  
 
 =
 = e - 1 2 t - 1 2 A cos  7 2 t + B sin  7 2 t + 7 2 B cos  7 2 t - A sin  7 2 t  
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
 
 
 
  
  
  
 
 
  
 
  
  
 
 
 
 
  
  
  
 
 
 
  
  
  
 
 
  
 
  
 
 
 = e - 1 2 t - 1 2 A cos  7 2 t - 1 2 B sin  7 2 t + 7 2 B cos  7 2 t - 7 2 A sin  7 2 t = 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
 
 
 
 
 
 
  
  
  
 
 
  
  
 
 
 
  
  
  
 
 
  
  
 
 
 
  
  
  
 
 
  
  
 
 e - 1 2 t cos  7 2 t 7 2 B - 1 2 A + sin  7 2 t - 7 2 A - 1 2 B  
 
 
 
 
 
  
 
 
  
  
  
 
  
  
 
 
 
  
  
 
 
  
  
  
 
 
 
  
  
 
 
 
 
  
  
 
  
 
 
Ou seja, 
 x ˙ t = e - 1 2 t cos  7 2 t 7 2 B - 1 2 A + sin  7 2 t - 7 2 A - 1 2 B  
 
 
  
 
 
 
 
 
  
 
 
 
  
  
  
 
  
  
 
 
 
  
  
 
 
  
  
  
 
 
 
  
  
 
 
 
 
  
  
 
  
 
 
Passo 5
Substituindo o 
 0   
 
  
 em 
 x t   e   x ˙ ( t ) 
 
 
  
 
  
  
 , teremos:
 x 0 = e - 1 2 t A cos  7 2 t + B sin  7 2 t   = e - 1 2 × 0 A cos  0 + B sin  0   = 
 
 
  
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
  
  
  
 
 
 
  
  
  
 
 
  
 
 
 
 
 
  
 
 
 
  
 
  
 
  
  
 
 = A × 1 + B × 0 = A → A = 1 
 
  
 
 x ˙ 0 = e - 1 2 t cos  7 2 t 7 2 B - 1 2 A + sin  7 2 t - 7 2 A - 1 2 B  
 
 
  
 
 
 
 
 
  
 
 
 
  
  
  
 
  
  
 
 
 
  
  
 
 
  
  
  
 
 
 
  
  
 
 
 
 
  
  
 
  
 
 
 = e - 1 2 × 0 cos  0 7 2 B - 1 2 A + sin  0 - 7 2 A - 1 2 B = 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
  
  
 
 
 
  
  
 
  
 
 
  
  
 
 
 
 
  
  
 
  
  
 
 = 1 × 7 2 B - 1 2 A + 0 × A 7 2 - B =   7 2 B - 1 2 A → 7 2 B - 1 2 A = 1 → 
 
 
 
  
  
 
 
 
  
  
 
 
 
  
  
 
  
  
 
  
  
 
 
 
 
 
  
  
 
 
 
 
  
 
 → 7 B - 1 A = 2 → B = 2 + 1 A 7 = 2 + 1 7 = 3 7 7  
 
 
  
 
  
  
 
 
 
  
  
 
 
 
 
  
 
  
 
 
 
 B = 3 7 7  
 
 
 
  
 
  
 
 
 
Substituindo em 
 x t : 
 
 
  
  
 
 x t = e - 1 2 t cos  7 2 t + 3 7 7 sin  7 2 t