Enunciado

A função diferenciável z = f ( x , y ) é dada implicitamente pela equação x 3 + y 3 + z 3 = 10 . Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 1 ,   1 ,   f 1,1 .

Passo 1

A questão pede a equação do planto tangente ao gráfico de f no ponto 1 ,   1 ,   f 1,1 . Para acharmos essa equação precisamos encontrar o vetor normal ao plano. Para isso, tomaremos a função

F x , y , z = x 3 + y 3 + z 3 - 10

Assim, o gráfico de f está contido em uma superfície de nível da função F . Mas por que fizemos isso? A resposta é simples: o gradiente de F será ortogonal às superfícies de nível. Desta forma, o gradiente desta função no ponto 1 ,   1 ,   f 1,1 será o vetor normal do plano.

Calculando esse gradiente, temos que

∇ F x , y , z = 3 x 2 , 3 y 2 , 3 z 2

Passo 2

Precisamos achar f 1 ,   1 para termos a terceira coordenada do ponto de tangência. Para isso, substituímos x = y = 1 na equação:

1 3 + 1 3 + z 3 = 10 ⇒ z = f 1,1 = 2

Desta forma,

∇ F 1,1 , f 1,1 = ( 3 ,   3 ,   12 )

Como só estamos interessados na direção do gradiente, vamos tomar n → = ( 1 ,   1 ,   4 ) como vetor normal.

Passo 3

A equação de um plano é dada por

x - x 0 ,   y - y 0 ,   z - z 0 ⋅ n → = 0

Assim,

x - 1 , y - 1 , z - 2 ⋅ 1 ,   1 ,   4 = 0

Logo,

x - 1 + y - 1 + 4 z - 8 = 0

Portanto,

x + y + 4 z = 10

Resposta

x + y + 4 z = 10

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