Enunciado

Determine a equação do plano normal, em ( 1 ,   2 ,   3 ) , à intersecção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 14 e x y z = 6 .

Passo 1

O problema fornece duas superfícies e pede a equação do plano normal à curva dada pela intersecção. Basta lembrar que o vetor normal do plano normal a uma curva é o próprio vetor diretor da reta tangente a essa curva.

Primeiro vamos escrever

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 14

g x , y , z = x y z - 6

Assim, as superfícies dadas são superfícies de nível das funções f e g . Como procuramos o vetor diretor da reta tangente à curva, vamos calcular os gradientes de f e g :

∇ f x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z ⇒ ∇ f 1 ,   2 ,   3 = ( 2 ,   4 ,   6 )

∇ g x , y , z = y z ,   x z ,   x y ⇒ ∇ g 1 ,   2 ,   3 = ( 6 ,   3 ,   2 )

Passo 2

Como o vetor diretor da reta tangente é perpendicular tanto a ∇ f 1 ,   2 ,   3 como a ∇ g 1 ,   2 ,   3 , temos que

u → = ∇ f 1 ,   2 ,   3 × ∇ g 1 ,   2 ,   3 = i → j → k → 2 4 6 6 3 2

Assim,

u → = ( - 10 ,   32 ,   - 18 )

Como o vetor normal ao plano normal é paralelo ao vetor diretor da reta tangente, temos que

n → = ( 5 ,   - 16 ,   9 )

Passo 3

A equação do plano é dada por

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ⋅ n → = 0

Assim,

x - 1 , y - 2 , z - 3 ⋅ 5 ,   - 16 ,   9 = 0

Logo,

5 x - 5 - 16 y + 32 + 9 z - 27 = 0

Portanto,

5 x - 16 y + 9 z = 0

Resposta

5 x - 16 y + 9 z = 0

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