Enunciado

Determine a solução

e ) (d^2 x)/(d t^2) + 2 (d x)/(d t) + 2 x = 4

Passo 1

Primeiramente precisamos lembrar que a solução para esse tipo de equação não homogênea vai sempre ser do tipo:

x (t) = x_h + x_p

Sendo x_h uma solução homogênea e x_p a parte da solução particular.

Para achar o x_h , vamos ter que considerar a equação como sendo homogênea, assim queremos a solução de:

(d^2 x)/(d t^2) + 2 (d x)/(d t) + 2 x = 0

Se usarmos, para esse caso que x = e^(lambda t) -> (d x)/(d t) = lambda e^(lambda t) -> (d^2 x)/(d t^2) = lambda^2 e^(lambda t) , assim:

(d^2 x)/(d t^2) + 2 (d x)/(d t) + 2 x = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) + 2 lambda e^(lambda t) + 2 e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 + 2 lambda + 2) = 0

e^(lambda t) (lambda^2 + 2 lambda + 2) = 0 -> lambda^2 + 2 lambda + 2 = 0

Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:

lambda^' e lambda " = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

Para o caso dado só temos a = 1 , b = 2 e c = 2 , assim:

lambda^' e lambda " = (- 2 +- sqrt(2^2 - 4 (1) (2)))/(2 (1)) = - 1 +- (sqrt(- 4))/(2)

Como bem sabemos, não podemos ter valores negativos dentro da raíz para valores reais, para que faça sentido vamos lembrar que i^2 = - 1 :

- 1 +- (sqrt(4 i^2))/(2) = - 1 +- (sqrt(( 2 i )^2))/(2) = - 1 +- (2)/(2) i = - 1 +- i

Passo 2

Identificados os valores de lambda , podemos Agora reescrever o x pelo teorema que diz que se temos duas raízes lambda_1 e lambda_2 da equação característica (ou seja, a função lambda^2 + b lambda + c = 0 ), então se lambda_1 e lambda_2 são números complexos podemos afirmar que:

x (t) = e^(alpha t) [A cos beta t + B sin beta t] (A , B ϵ R)

Lembrando que: lambda = alpha +- beta i

Para o nosso caso: alpha = - 1 e beta = 1

Assim, substituindo os valores de alpha e beta :

x (t) = e^(- 1 t) [A cos 1 t + B sin 1 t]

Passo 3

Agora que temos a parte homogênea vamos procurar a parte particular da equação.

Mas como fazer isso?

Temos os seguintes casos que podem aparecer:

Observação: Se f (t) = a_0 sin alpha t , procede como no caso, f (t) = a_0 cos alpha t

Temos que para o nosso caso f (t) = 4 , ou seja, vamos considerar f (t) = P (l) , como P (l) genérico tem o mesmo grau que f (t) e no nosso caso é um polinômio de grau 0, vamos dizer que P (l) = m

Daí substituímos na equação e teremos:

(d^2 x)/(d t^2) + 2 (d x)/(d t) + 2 x = 4 -> (d^2 (m))/(d t^2) + 2 (d (m))/(d t) + 2 (m) = 4

2 m = 4 -> m = 2

Assim:

x_p = 2

Passo 4

Substituindo:

x (t) = e^(- t) [A cos t + B sin t] + 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados. y ' ' + 2 y ' - 8 y = 1 - 2 x 2
Esboce a solução particular e várias outras soluções. Que características estas soluções têm em comum? y ' ' + 3 y ' + 2 y = cos ⁡ x
Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados. y ' ' - 4 y ' + 4 y = x - sen ⁡ x
Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados. y ' ' - 2 y ' + 5 y = sen ⁡ x , y 0 = 1 , y ' 0 = 1
Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados. y ' ' + y ' - 2 y = x + sen ⁡ 2 x , y 0 = 1 , y ' 0 = 0