Determine a solução

e) d^2x / dt^2 + 2 \* dx/dt + 2x = 4

Passo 1

Primeiramente precisamos lembrar que a solução para esse tipo de equação não homogênea vai sempre ser do tipo:

x t = x h + x p

Sendo x h uma solução homogênea e x p a parte da solução particular.

Para achar o x h , vamos ter que considerar a equação como sendo homogênea, assim queremos a solução de:

d 2 x d t 2 + 2 d x d t + 2 x = 0

Se usarmos, para esse caso que x = e λ t → d x d t = λ e λ t → d 2 x d t 2 = λ 2 e λ t , assim:

d 2 x d t 2 + 2 d x d t + 2 x = 0 → λ 2 e λ t + 2 λ e λ t + 2 e λ t = e λ t λ 2 + 2 λ + 2 = 0

e λ t λ 2 + 2 λ + 2 = 0 → λ 2 + 2 λ + 2 = 0

Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:

λ ' e   λ " =   - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Para o caso dado só temos a = 1 ,   b = 2   e   c = 2 , assim:

λ ' e   λ " =   - 2 ± 2 2 - 4 1 2 2 1 = - 1 ± - 4 2  

Como bem sabemos, não podemos ter valores negativos dentro da raíz para valores reais, para que faça sentido vamos lembrar que i 2 = - 1 :

- 1 ± 4 i 2 2 = - 1 ± ( 2 i ) 2 2 = - 1 ± 2 2 i = - 1 ± i    

Passo 2

Identificados os valores de   λ , podemos Agora reescrever o x pelo teorema que diz que se temos duas raízes λ 1   e   λ 2 da equação característica (ou seja, a função λ 2 + b λ + c = 0 ), então se λ 1 e   λ 2 são números complexos podemos afirmar que:

x t = e α t A cos ⁡ β t + B sin ⁡ β t   A ,   B   ϵ R

Lembrando que: λ = α ±   β i

Para o nosso caso: α = - 1   e   β = 1

Assim, substituindo os valores de α   e   β :

x t = e - 1 t A cos ⁡ 1 t + B sin ⁡ 1 t  

Passo 3

Agora que temos a parte homogênea vamos procurar a parte particular da equação.

Mas como fazer isso?

Temos os seguintes casos que podem aparecer:

Observação: Se f t = a 0 sin ⁡ α t , procede como no caso, f t = a 0 cos ⁡ α t

Temos que para o nosso caso f t = 4 , ou seja, vamos considerar f t = P l , como P l genérico tem o mesmo grau que f t e no nosso caso é um polinômio de grau 0, vamos dizer que P l = m

Daí substituímos na equação e teremos:

d 2 x d t 2 + 2 d x d t + 2 x = 4 → d 2 m d t 2 + 2 d m d t + 2 m = 4

2 m = 4 → m = 2

Assim:

x p = 2

Passo 4

Substituindo:

x t = e - t A cos ⁡ t + B sin ⁡ t   + 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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