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Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.

y ' ' + 2 y ' - 8 y = 1 - 2 x 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Aqui temos uma equação diferencial não homogênea de segunda ordem, ou seja, o lado direito da equação não é zero. Essas equações têm a seguinte forma:

a x y ' ' + b x y ' + c x = G x

A solução geral para uma equação desse tipo é dada por:

y = y h + y p

Onde y h é a solução da parte homogênea e y p a solução da parte particular.

Como você já deve ter percebido, vamos encontrar uma solução para a parte homogênea que é o lado esquerdo da nossa equação, e uma solução para a parte particular que é o lado direito e então somar as duas para obter a solução geral da nossa EDO.

Passo 2

Para a parte homogênea, temos a seguinte equação diferencial homogênea associada:

y ' ' + 2 y ' - 8 y = 0

Aqui nós resolvemos normalmente. Vamos supor uma solução do tipo:

y x = A e r x

O processo para determinar o r é sempre o mesmo: derivar uma, depois duas vezes e substituir na equação:

y ' x = r A e r x

y ' ' x = r 2 A e r x

Substituindo na equação diferencial, temos:

r 2 A e r x + 2 r A e r x - 8 A e r x = 0

Dividindo os dois lados por A e r x , teremos:

r 2 + 2 r - 8 = 0

Essa é justamente a nossa equação característica. Ela que vai nos dizer se a solução da EDO será exponencial, polinomial ou oscilatória. Descobrimos isso com base nas raízes da equação.

Passo 3

Para resolver e encontrar as raízes eu irei fatorar a equação, mas se você quiser pode resolver por Bhaskara que também encontrará o mesmo resultado.

Fatorando, temos que:

r 2 + 4 r - 2 r - 8 = 0

r r + 4 - 2 r + 4 = 0

r - 2 r + 4 = 0

Podemos dizer que as raízes são:

r 1 = 2

r 2 = - 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução da parte homogênea da EDO será da seguinte forma:

y h = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x

y h = c 1 e 2 x + c 2 e - 4 x

Onde c 1 e c 2 são constantes.

Passo 4

Para determinar a solução particular vamos usar o método dos coeficientes indeterminados. A função da parte particular é dada por:

G x = 1 - 2 x 2

Já que ela é uma equação do segundo grau, uma possível solução para ela vai ser um polinômio do segundo grau:

y p = A x 2 + B x + C

Definida a solução tentativa, vamos derivar uma e duas vezes e depois substituir na equação diferencial completa e igualar os coeficientes.

Derivando y p em relação a x , temos:

y p ' = 2 A x + B

Derivando novamente, temos que:

y p ' ' = 2 A

Passo 5

Agora vamos substituir na EDO.

y p ' ' + 2 y p ' - 8 y p = 1 - 2 x 2

2 A + 2 2 A x + B - 8 A x 2 + B x + C = 1 - 2 x 2

Vamos organizar a equação de modo que possamos comparar os dois lados:

- 8 A x 2 + 4 A - 8 B x + 2 A + 2 B - 8 C = 1 - 2 x 2

Comparando os coeficientes de termos semelhantes dos dois lados, temos que:

- 8 A x 2 = - 2 x 2

- 8 A = - 2

A = 1 4

Temos também que:

4 A - 8 B = 0

B = A 2 = 1 / 4 2

B = 1 8

E:

2 A + 2 B - 8 C = 1

2 1 4 + 2 1 8 - 8 C = 1

C = - 1 32

Passo 6

Portanto, a solução particular será:

y p = A x 2 + B x + C

y p = 1 4 x 2 + 1 8 x - 1 32

Vamos juntar os resultados das soluções particular e homogênea:

y = y h + y p

Portanto:

y = c 1 e 2 x + c 2 e - 4 x + 1 4 x 2 + 1 8 x - 1 32

Como não temos as condições iniciais não será possível substituir e encontrar as constantes c 1 e c 2 , portanto a nossa solução geral fica dessa forma mesmo.

Resposta

y = c 1 e 2 x + c 2 e - 4 x + 1 4 x 2 + 1 8 x - 1 32

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