Enunciado

Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.

y ' ' - 4 y ' + 4 y = x - sen ⁡ x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A equação auxiliar da parte homogênea é:

r 2 - 4 r + 4 = 0

Resolvendo, temos que:

r = 4 ± 16 - 16 2

r = 2

Podemos dizer que as raízes são:

r = 2

Como as raízes são reais e idênticas, a solução geral da EDO é da seguinte forma:

y h = e 2 x c 1 + c 2 x

Onde c 1 e c 2 são constantes.

Passo 2

Vamos analisar a parte particular agora. Seja:

G x = x - sen ⁡ x

Temos que:

y p = A x + B + C cos ⁡ x + D sen ⁡ x

Derivando y p em relação a x , temos:

y p ' = A - C sen ⁡ x + D cos ⁡ x

Derivando novamente, temos que:

y p ' ' = - C cos ⁡ x - D sen ⁡ x

Passo 3

Agora vamos substituir na EDO.

y p ' ' - 4 y p ' + 4 y = x - sen ⁡ x

- C cos ⁡ x - D sen ⁡ x - 4 A - C sen ⁡ x + D cos ⁡ x + 4 A x + B + C cos ⁡ x + D sen ⁡ x = x - sen ⁡ x

- C - 4 D + 4 C cos ⁡ x + - D + 4 C + 4 D sen ⁡ x + 4 A x + - 4 A + 4 B = x - sen ⁡ x

Comparando os coeficientes de termos semelhantes dos dois lados, temos que:

- 4 A + 4 B = 0

A = B

4 A = 1

A = B = 1 4

- 4 D + 3 C = 0

C = 4 3 D

3 D + 4 C = - 1

4 4 3 D + 3 D = - 1

16 3 D + 9 3 D = - 1

D = - 3 25

C = - 4 25

Passo 4

Portanto, a solução particular é y p = 1 4 x + 1 4 - 4 25 cos ⁡ x - 3 25 sen ⁡ x .

A solução geral é dada por:

y = y h + y p

Portanto:

y = e 2 x c 1 + c 2 x + 1 4 x + 1 4 - 4 25 cos ⁡ x - 3 25 sen ⁡ x

Resposta

y = e 2 x c 1 + c 2 x + 1 4 x + 1 4 - 4 25 cos ⁡ x - 3 25 sen ⁡ x

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