Determine a solução

d)x¨ + 4x˙ + 3x = 8e^(2t)

Passo 1

Primeiramente precisamos lembrar que a solução para esse tipo de equação não homogênea vai sempre ser do tipo:

x t = x h + x p

Sendo x h uma solução homogênea e x p a parte da solução particular.

Para achar o x h , vamos ter que considerar a equação como sendo homogênea, assim queremos a solução de:

x ¨ + 4 x ˙ + 3 x = 0

Se usarmos, para esse caso que x = e λ t → x ˙ = λ e λ t → x ¨ = λ 2 e λ t , assim:

x ¨ + 4 x ˙ + 3 x = 0 → λ 2 e λ t + 4 λ e λ t + 3 e λ t = e λ t λ 2 + 4 λ + 3 = 0

e λ t λ 2 + 4 λ + 3 = 0 → λ 2 + 4 λ + 3 = 0

λ ' e   λ " =   - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Para o caso dado só temos a = 1 ,   b = 4   e   c = 3 , assim:

λ ' e   λ " =   - 4 ± ( 4 ) 2 - 4 1 3 2 1 = - 2 ± 4 2 =   - 2 ± 2 2 = - 2 ± 1 → λ = - 1   e   λ = - 3

Passo 2

Identificados os valores de   λ , podemos Agora reescrever o x h t pelo teorema que diz que se temos duas raízes λ 1   e   λ 2 da equação característica (ou seja, a função λ 2 + b λ + c = 0 ), então se λ 1 ≠ λ 2 então podemos reescrever x h t como sendo:

x h t = A e λ 1 t + B e λ 2 t   A ,   B   ϵ R

Para o nosso caso: λ 1 = - 1   e λ 2 = - 3

Assim, substituindo os valores de λ 1   e   λ 2 :

x h t = A e - t + B e - 3 t  

Passo 3

Agora que temos a parte homogênea vamos procurar a parte particular da equação.

Mas como fazer isso?

Temos os seguintes casos que podem aparecer:

Observação: Se f t = a 0 sin ⁡ α t , procede como no caso, f t = a 0 cos ⁡ α t

Temos que que para esse caso vamos analisar as possibilidades do tipo a 0 e α t , para o nosso caso temos que α não é raiz da equação característica, então vamos usar x p = m e α t

Para achar o m vamos substituir sendo x p = m e 2 t = x

m e 2 t ¨ + 4 m e 2 t ˙ + 3 m e 2 t = 8 e 2 t

4 m e 2 t + 4 × 2 m e 2 t + 3 m e 2 t = 8 e 2 t

15 m e 2 t = 8 e 2 t

m = 8 15

Então:

x p = 8 15 e 2 t

Passo 4

Substituindo:

x t = A e - t + B e - 3 t   + 8 15 e 2 t

Resposta

x t = A e - t + B e - 3 t   + 8 15 e 2 t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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