Enunciado

Determine a solução

d ) overset(¨)(x) + 4 overset(˙)(x) + 3 x = 8 e^(2 t)

Passo 1

Primeiramente precisamos lembrar que a solução para esse tipo de equação não homogênea vai sempre ser do tipo:

x (t) = x_h + x_p

Sendo x_h uma solução homogênea e x_p a parte da solução particular.

Para achar o x_h , vamos ter que considerar a equação como sendo homogênea, assim queremos a solução de:

overset(¨)(x) + 4 overset(˙)(x) + 3 x = 0

Se usarmos, para esse caso que x = e^(lambda t) -> overset(˙)(x) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(x) = lambda^2 e^(lambda t) , assim:

overset(¨)(x) + 4 overset(˙)(x) + 3 x = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) + 4 lambda e^(lambda t) + 3 e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 + 4 lambda + 3) = 0

e^(lambda t) (lambda^2 + 4 lambda + 3) = 0 -> lambda^2 + 4 lambda + 3 = 0

lambda^' e lambda " = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

Para o caso dado só temos a = 1 , b = 4 e c = 3 , assim:

lambda^' e lambda " = (- 4 +- sqrt(( 4 )^2 - 4 (1) (3)))/(2 (1)) = - 2 +- (sqrt(4))/(2) = - 2 +- (2)/(2) = - 2 +- 1 -> lambda = - 1 e lambda = - 3

Passo 2

Identificados os valores de lambda , podemos Agora reescrever o x_h (t) pelo teorema que diz que se temos duas raízes lambda_1 e lambda_2 da equação característica (ou seja, a função lambda^2 + b lambda + c = 0 ), então se lambda_1 != lambda_2 então podemos reescrever x_h (t) como sendo:

x_h (t) = [A e^(lambda_1 t) + B e^(lambda_2 t)] (A , B ϵ R)

Para o nosso caso: lambda_1 = - 1 e lambda_2 = - 3

Assim, substituindo os valores de lambda_1 e lambda_2 :

x_h (t) = [A e^(- t) + B e^(- 3 t)]

Passo 3

Agora que temos a parte homogênea vamos procurar a parte particular da equação.

Mas como fazer isso?

Temos os seguintes casos que podem aparecer:

Observação: Se f (t) = a_0 sin alpha t , procede como no caso, f (t) = a_0 cos alpha t

Temos que que para esse caso vamos analisar as possibilidades do tipo a_0 e^(alpha t) , para o nosso caso temos que alpha não é raiz da equação característica, então vamos usar x_p = m e^(alpha t)

Para achar o m vamos substituir sendo x_p = m e^(2 t) = x

overset(¨)((m e^(2 t))) + 4 overset(˙)((m e^(2 t))) + 3 m e^(2 t) = 8 e^(2 t)

4 m e^(2 t) + 4 xx 2 m e^(2 t) + 3 m e^(2 t) = 8 e^(2 t)

15 m e^(2 t) = 8 e^(2 t)

m = (8)/(15)

Então:

x_p = (8)/(15) e^(2 t)

Passo 4

Substituindo:

x (t) = [A e^(- t) + B e^(- 3 t)] + (8)/(15) e^(2 t)

Resposta

x (t) = [A e^(- t) + B e^(- 3 t)] + (8)/(15) e^(2 t)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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