Enunciado

Determine a solução geral.

overset(¨)(x) + 9 x = sen t + 2 cos t

Passo 1

A solução geral que estamos buscando é da forma

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

Onde x_h (t) é a solução homogênea e x_p (t) a solução particular.

Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação

overset(¨)(x) + 9 x = 0

Vamos então supor a solução x_h (t) = e^(r t) , para isso calculamos as derivadas

overset(˙)(x) = r e^(r t)

overset(¨)(x) = r^2 e^(r t)

Substituindo na equação temos

r^2 e^(r t) + 9 r e^(r t) = 0

Colocando e^(r t) em evidência

e^(r t) (r^2 + 9) = 0

r^2 + 9 = 0

Passo 2

Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada

r^2 + 9 = 0

r^2 = - 9

r = +- 3 i

Portanto a solução homogênea é da forma

x_h (t) = A cos 3 t + B sen 3 t

Onde A e B são constantes reais, ou A , B in R .

Passo 3

Para a solução particular, vamos seguir a cara da função de entrada, que neste caso é sen t + 2 cos t .

Temos então como entrada um seno mais um cosseno, para esse tipo de entrada, com o coeficiente da primeira derivada nulo, supomos então

x_p (t) = a cos t + b sen t

Calculando as derivadas

x_p^' (t) = - a sen t + b cos t

x_p^(' ') (t) = - a cos t - b sen t

Substituindo então na equação

overset(¨)(x) + 9 x = sen t + 2 cos t

- a cos t - b sen t + 9 (a cos t + b sen t) = sen t + 2 cos t

8 a cos t + 8 b sen t = sen t + 2 cos t

Temos então

8 a = 2

a = (1)/(4)

8 b = 1

b = (1)/(8)

E a solução particular é dada por

x_p (t) = (1)/(4) cos t + (1)/(8) sen t

E a solução geral é dada por

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

x (t) = A cos 3 t + B sen 3 t + (1)/(4) cos t + (1)/(8) sen t

Com A , B in R .

Resposta

x (t) = A cos 3 t + B sen 3 t + (1)/(4) cos t + (1)/(8) sen t

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