Determine a solução geral.

ẍ + 9x = sen(t) + 2cos(t)

Passo 1

A solução geral que estamos buscando é da forma

x t = x h t + x p t

Onde x h t é a solução homogênea e x p t a solução particular.

Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação

x ¨ + 9 x = 0

Vamos então supor a solução x h t = e r t , para isso calculamos as derivadas

x ˙ = r e r t

x ¨ = r 2 e r t

Substituindo na equação temos

r 2 e r t + 9 r e r t = 0

Colocando e r t em evidência

e r t r 2 + 9 = 0

r 2 + 9 = 0

Passo 2

Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada

r 2 + 9 = 0

r 2 = - 9

r = ±   3 i

Portanto a solução homogênea é da forma

x h t = A cos ⁡ 3 t + B sen ⁡ 3 t

Onde A e B são constantes reais, ou A , B ∈ R .

Passo 3

Para a solução particular, vamos seguir a cara da função de entrada, que neste caso é sen ⁡ t + 2 cos ⁡ t .

Temos então como entrada um seno mais um cosseno, para esse tipo de entrada, com o coeficiente da primeira derivada nulo, supomos então

x p t = a cos ⁡ t + b sen ⁡ t

Calculando as derivadas

x p ' t = - a sen ⁡ t + b cos ⁡ t

x p ' ' t = - a cos ⁡ t - b sen ⁡ t

Substituindo então na equação

x ¨ + 9 x = sen ⁡ t + 2 cos ⁡ t

- a cos ⁡ t - b sen ⁡ t + 9 a cos ⁡ t + b sen ⁡ t = sen ⁡ t + 2 cos ⁡ t

8 a cos ⁡ t + 8 b sen ⁡ t = sen ⁡ t + 2 cos ⁡ t

Temos então

8 a = 2

a = 1 4

8 b = 1

b = 1 8

E a solução particular é dada por

x p t = 1 4 cos ⁡ t + 1 8 sen ⁡ t

E a solução geral é dada por

x t = x h t + x p t

x t = A cos ⁡ 3 t + B sen ⁡ 3 t + 1 4 cos ⁡ t + 1 8 sen ⁡ t

Com A , B ∈ R .

Resposta

x t = A cos ⁡ 3 t + B sen ⁡ 3 t + 1 4 cos ⁡ t + 1 8 sen ⁡ t

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