Determine a solução geral de

y ' ' + λ 2 y = ∑ m = 1 N a m sen ⁡ m π t

em que lambda > 0 e lambda != m * pi para m = 1, ..., N.

Passo 1

Primeiro, encontramos a solução para a equação homogênea correspondente.

y ' ' + λ 2 y = 0

Se :

r 2 + λ r = 0

r = ±   λ i

A solução geral homogênea será dada por:

c 1 cos ⁡ λ t + c 2 sen ⁡ λ t

Então fazemos uma hipótese para a forma da função que compõe a soma:

Y m t = A sen ⁡ m π t

A primeira derivada de nossa solução específica.

Y ' m t = A m π co s ⁡ m π t

A segunda derivada de nossa solução específica.

Y ' ' m t = - A m 2 π 2 s en ⁡ m π t

Substituindo esses valores na EDO, teremos:

Y ' ' m t + λ 2 Y m t = a m sen ⁡ m π t

Colocando os valores calculados:

- A m 2 π 2 sen ⁡ m π t + λ 2 A m π cos ⁡ m π t = a m sen ⁡ m π t

A λ 2 - m 2 π 2 = a m sen ⁡ m π t

Isolando A , teremos:

A = a m sen ⁡ m π t λ 2 - m 2 π 2

A solução geral será dada por:

Y = c 1 cos ⁡ λ t + c 2 sen ⁡ λ t + ∑ m = 1 N a m sen ⁡ m π t λ 2 - m 2 π 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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