Enunciado

Se as funções y1 e y2 formarem um conjunto fundamental de soluções de y′′ + p(t)y′ + q(t)y = 0, mostre que entre dois zeros consecutivos de y1 existe um, e apenas um, zero de y2. Note que esse comportamento é ilustrado pelas soluções y1 = cos t e y2 = sen t da equação y′′ + y = 0.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para acharmos as soluções para a equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser escolher μ x e f(x). Assim, teremos que: μ x P x y ' ' + μ x Q x y ' + μ x R x y = μ x P x y ' ' + f x y '

Se expandirmos o lado direito, teremos: μ ' x P x + μ x P ' x + f x = μ x Q x

f ' x = μ x R x

Passo 3

Pronto!! Agora é só derivar a primeira parte e eliminar f’(x) para obter a equação adjunta!!

P μ ' ' + 2 P ' - Q μ ' + P ' ' - Q ' + R μ = 0

Resposta

P μ ' ' + 2 P ' - Q μ ' + P ' ' - Q ' + R μ = 0

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