Enunciado

Equações de Euler. Uma equação da forma

t 2 d 2 y d t 2 + α t d y d t + β y = 0 ,     t > 0 .  

em que α e β são constantes reais, é chamada de equação de Euler.

  1. Seja x = ln ⁡ t e calcule d y / d t e d 2 y / d t 2 em termos de d y / d x e d 2 y / d x 2 .
  2. Use os resultados do item (a) para transformar a Eq. (ii) em

d 2 y d x 2 + α - 1 d y d x + β y = 0

Note que a Eq. (iii) tem coeficientes constantes. Se y 1 x e y 2 x formarem um conjunto fundamental de soluções da Eq. (iii), então y 1 ln ⁡ t e y 2 ln ⁡ t formarão um conjunto fundamental de soluções da Eq. (ii).

Passo 1

Para resolvermos, vamos aplicar a regra da cadeia para transformarmos de d y / d t para d y / d x , na qual

d y d t = d y d x ⋅ d x d t

e após isso iremos manipular nossa expressão até chegarmos no pedido no segundo item.

Passo 2

  1. Bom, vamos lá! Como já dito no passo 1, vamos começar aplicando a regra da cadeia. Temos que x = ln ⁡ t , assim, se calcularmos nosso d x / d t vamos chegar que nossa primeira derivada ficará:
  2. d y d t = d y d x ⋅ 1 t

    Nossa segunda derivada, seguindo a mesma ideia porém agora com a regra do produto também, será

    d 2 y d t 2 = d d t ⋅ d y d x ⋅ 1 t - d y d x ⋅ 1 / t 2

    Como nossas funções são de segunda ordem, temos que

    d y d t d x = d y d x d t = d d x ⋅ d y d t = d d x ⋅ d y d x ⋅ 1 t

    Substituindo então, teremos que:

    d 2 y d t 2 = d 2 y d x 2 ⋅ 1 t ⋅ 1 t - d y d x ⋅ 1 / t 2

    Passo 3

  3. Toda nossa equação, substituindo agora nosso d y / d t , será

t 2 ⋅ d 2 y d x 2 ⋅ 1 t 2 - d y d x ⋅ 1 t 2 + α t ⋅ d y d x ⋅ 1 t + β y = 0

d 2 y d x 2 - d y d x + α ⋅ d y d x + β y = 0

d 2 y d x 2 + α - 1 ⋅ d y d x + β y = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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