Enunciado

Determine a solução do problema

overset(¨)(x) + 4 x = 5 e^(3 t) , x (0) = 0 e overset(˙)(x) (0) = 0

Passo 1

Para encontrar a solução do problema, buscamos a solução geral da equação, que é da forma

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

onde x_h (t) é a solução homogênea e x_p (t) a solução particular, depois substituímos as condições iniciais para encontrar as constantes da solução homogênea.

Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação

overset(¨)(x) + 4 x = 0

Vamos então supor a solução x_h (t) = e^(r t) , para isso calculamos as derivadas

overset(˙)(x) = r e^(r t)

overset(¨)(x) = r^2 e^(r t)

Substituindo na equação temos

r^2 e^(r t) + 4 e^(r t) = 0

Colocando e^(r t) em evidência

e^(r t) (r^2 + 4) = 0

r^2 + 4 = 0

Passo 2

Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada

r^2 + 4 = 0

r^2 = - 4

r = +- 2 i

Portanto a solução homogênea é da forma

x_h (t) = A cos 2 t + B sen 2 t

Onde A e B são constantes reais, ou A , B in R .

Passo 3

Para a solução particular, vamos seguir a cara da função de entrada, que neste caso é 5 e^(3 t) .

Como temos uma entrada com cara exponencial, vamos supor uma solução particular com a mesma cara

y_p (t) = a e^(3 t)

Calculando as derivadas

x_p^' (t) = 3 a e^(3 t)

x_p^(' ') (t) = 9 a e^(3 t)

Substituindo então na equação

overset(¨)(x) + 4 x = 5 e^(3 t)

9 a e^(3 t) + 4 a e^(3 t) = 5 e^(3 t)

13 a e^(3 t) = 5 e^(3 t)

Temos então

13 a = 5

a = (5)/(13)

E a solução particular é dada por

x_p (t) = (5)/(13) e^(3 t)

E a solução geral é dada por

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

x (t) = A cos 2 t + B sen 2 t + (5)/(13) e^(3 t)

Com A , B in R .

Passo 4

Temos então as condições x (0) = 0 e overset(˙)(x) (0) = 0 , substituindo primeiro t = 0 na equação

x (t) = A cos 2 t + B sen 2 t + (5)/(13) e^(3 t)

x (0) = A cos 0 + B sen 0 + (5)/(13) e^0 = 0

A = - (5)/(13)

Derivando agora

x^' (t) = - 2 A sen 2 t + 2 B cos 2 t + (1 5)/(13) e^(3 t)

Substituindo t = 0

x^' (0) = - 2 A sen 0 + 2 B cos 0 + (15)/(13) e^0 = 0

2 B = - (15)/(13)

B = - (15)/(26)

E temos

x (t) = - (5)/(13) cos 2 t - (15)/(26) sen 2 t + (5)/(13) e^(3 t)

Resposta

x (t) = - (5)/(13) cos 2 t - (15)/(26) sen 2 t + (5)/(13) e^(3 t)

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