Enunciado

Determine a solução geral.

overset(¨)(x) - 4 x = 8 cos t

Passo 1

A solução geral que estamos buscando é da forma

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

Onde x_h (t) é a solução homogênea e x_p (t) a solução particular.

Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação

overset(¨)(x) - 4 x = 0

Vamos então supor a solução x_h (t) = e^(r t) , para isso calculamos as derivadas

overset(˙)(x) = r e^(r t)

overset(¨)(x) = r^2 e^(r t)

Substituindo na equação temos

r^2 e^(r t) - 4 e^(r t) = 0

Colocando e^(r t) em evidência

e^(r t) (r^2 - 4) = 0

r^2 - 4 = 0

Passo 2

Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada

r^2 - 4 = 0

r^2 = 4

r_1 = 2

r_2 = - 2

Portanto a solução homogênea é da forma

x_h (t) = A e^(2 t) + B e^(- 2 t)

Onde A e B são constantes reais, ou A , B in R .

Passo 3

Para a solução particular, vamos seguir a cara da função de entrada, que neste caso é 8 cos t .

Temos então como entrada um cosseno, para esse tipo de entrada, com o coeficiente da primeira derivada nulo, supomos então

y_p (t) = a cos t

Calculando as derivadas

x_p^' (t) = - a sen t

x_p^(' ') (t) = - a cos t

Substituindo então na equação

overset(¨)(x) - 4 x = 8 cos t

- a cos t - 4 a cos t = 8 cos t

- 5 a cos t = 8 cos t

Temos então

- 5 a = 8

a = - (8)/(5)

E a solução particular é dada por

x_p (t) = - (8)/(5) cos t

E a solução geral é dada por

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

x (t) = A e^(2 t) + B e^(- 2 t) - (8)/(5) cos t

Com A , B in R .

Resposta

x (t) = A e^(2 t) + B e^(- 2 t) - (8)/(5) cos t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma mola tem massa de 1 k g presa a ela e sua constante da mola é k = 100 . A mola é solta em um ponto 0,1 m acima de sua posição de equilíbrio. Faça os gráficos da função posição para os seguintes va
Determine a solução geral. x ¨ + 2 x ˙ + x = cos ⁡ 2 t
Determine a solução geral. x ¨ - 2 x ˙ = e t
Resolva a equação x ¨ + ω 2 x = sen ⁡ ω t onde ω ≠ 0 é um real dado. (Ressonância)
Determine uma solução particular de x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = b sen ⁡ ω t onde γ , ω 0 , b e ω são constantes não-nulas dadas.