Determine a solução geral.

x¨ - 4x = 8 \* cos(t)

Passo 1

A solução geral que estamos buscando é da forma

x t = x h t + x p t

Onde x h t é a solução homogênea e x p t a solução particular.

Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação

x ¨ - 4 x = 0

Vamos então supor a solução x h t = e r t , para isso calculamos as derivadas

x ˙ = r e r t

x ¨ = r 2 e r t

Substituindo na equação temos

r 2 e r t - 4 e r t = 0

Colocando e r t em evidência

e r t r 2 - 4 = 0

r 2 - 4 = 0

Passo 2

Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada

r 2 - 4 = 0

r 2 = 4

r 1 = 2

r 2 = - 2

Portanto a solução homogênea é da forma

x h t = A e 2 t + B e - 2 t

Onde A e B são constantes reais, ou A , B ∈ R .

Passo 3

Para a solução particular, vamos seguir a cara da função de entrada, que neste caso é 8 cos ⁡ t .

Temos então como entrada um cosseno, para esse tipo de entrada, com o coeficiente da primeira derivada nulo, supomos então

y p t = a cos ⁡ t

Calculando as derivadas

x p ' t = - a sen ⁡ t

x p ' ' t = - a cos ⁡ t

Substituindo então na equação

x ¨ - 4 x = 8 cos ⁡ t

- a cos ⁡ t - 4 a cos ⁡ t = 8 cos ⁡ t

- 5 a cos ⁡ t = 8 cos ⁡ t

Temos então

- 5 a = 8

a = - 8 5

E a solução particular é dada por

x p t = - 8 5 cos ⁡ t

E a solução geral é dada por

x t = x h t + x p t

x t = A e 2 t + B e - 2 t - 8 5 cos ⁡ t

Com A , B ∈ R .

Resposta

x t = A e 2 t + B e - 2 t - 8 5 cos ⁡ t

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