Determine a solução geral.

x¨ + 9x = sen(3t)

Passo 1

A solução geral que estamos buscando é da forma

x t = x h t + x p t

Onde x h t é a solução homogênea e x p t a solução particular.

Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação

x ¨ + 9 x = 0

Vamos então supor a solução x h t = e r t , para isso calculamos as derivadas

x ˙ = r e r t

x ¨ = r 2 e r t

Substituindo na equação temos

r 2 e r t + 9 r e r t = 0

Colocando e r t em evidência

e r t r 2 + 9 = 0

r 2 + 9 = 0

Passo 2

Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada

r 2 + 9 = 0

r 2 = - 9

r = ±   3 i

Portanto a solução homogênea é da forma

x h t = A cos ⁡ 3 t + B sen ⁡ 3 t

Onde A e B são constantes reais, ou A , B ∈ R .

Passo 3

Para a solução particular, vamos seguir a cara da função de entrada, que neste caso é sen ⁡ 3 t .

Temos então como entrada um seno, para esse tipo de entrada, com o coeficiente da primeira derivada nulo e como sen ⁡ 3 t é solução da equação homogênea, então

x p t = a t cos ⁡ 3 t + b t sen ⁡ 3 t

x p t = t a cos ⁡ 3 t + b sen ⁡ 3 t

Calculando as derivadas

x p ' t = a cos ⁡ 3 t + b sen ⁡ 3 t + t - 3 a sen ⁡ 3 t + 3 b cos ⁡ 3 t

x p ' ' t = - 3 a sen ⁡ 3 t + 3 b cos ⁡ 3 t - 3 a sen ⁡ 3 t + 3 b cos ⁡ 3 t + t - 9 a cos ⁡ 3 t - 9 b sen ⁡ 3 t

= - 6 a sen ⁡ 3 t + 6 b cos ⁡ 3 t + t - 9 a cos ⁡ 3 t - 9 b sen ⁡ 3 t

Substituindo então na equação

x ¨ + 9 x = sen ⁡ 3 t

- 6 a sen ⁡ 3 t + 6 b cos ⁡ 3 t + t - 9 a cos ⁡ 3 t - 9 b sen ⁡ 3 t + 9 t a cos ⁡ 3 t + b sen ⁡ 3 t = sen ⁡ 3 t

Perceba que os componentes que contém t são cancelados e ficamos com

- 6 a sen ⁡ 3 t + 6 b cos ⁡ 3 t = sen ⁡ 3 t

E temos

- 6 a = 1

a = - 1 6

b = 0

E a solução particular é dada por

x p t = - 1 6 t cos ⁡ 3 t

E a solução geral é dada por

x t = x h t + x p t

x t = A cos ⁡ 3 t + B sen ⁡ 3 t - 1 6 t cos ⁡ 3 t

Com A , B ∈ R .

Resposta

x t = A cos ⁡ 3 t + B sen ⁡ 3 t - 1 6 t cos ⁡ 3 t

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