Enunciado

Determine a solução do problema

overset(¨)(x) + 4 x = cos 2 t , x (0) = 0 e overset(˙)(x) (0) = 0

Passo 1

Para encontrar a solução do problema, buscamos a solução geral da equação, que é da forma

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

onde x_h (t) é a solução homogênea e x_p (t) a solução particular, depois substituímos as condições iniciais para encontrar as constantes da solução homogênea.

Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação

overset(¨)(x) + 4 x = 0

Vamos então supor a solução x_h (t) = e^(r t) , para isso calculamos as derivadas

overset(˙)(x) = r e^(r t)

overset(¨)(x) = r^2 e^(r t)

Substituindo na equação temos

r^2 e^(r t) + 4 e^(r t) = 0

Colocando e^(r t) em evidência

e^(r t) (r^2 + 4) = 0

r^2 + 4 = 0

Passo 2

Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada

r^2 + 4 = 0

r^2 = - 4

r = +- 2 i

Portanto a solução homogênea é da forma

x_h (t) = A cos 2 t + B sen 2 t

Onde A e B são constantes reais, ou A , B in R .

Passo 3

Para a solução particular, vamos seguir a cara da função de entrada, que neste caso é cos 2 t .

Temos então como entrada um cosseno, para esse tipo de entrada, com o coeficiente da primeira derivada nulo e como cos 2 t é solução da equação homogênea, então

x_p (t) = a t cos 2 t + b t sen 2 t

Calculando as derivadas

x_p^' (t) = a cos 2 t - 2 a t sen 2 t + b sen 2 t + 2 b t cos 2 t

= cos 2 t (a + 2 b t) + sen 2 t (b - 2 a t)

x_p^(' ') (t) = - 2 sen 2 t (a + 2 b t) + 2 b cos 2 t + 2 cos 2 t (b - 2 a t) - 2 a sen 2 t

= cos 2 t (4 b - 4 a t) + sen 2 t ( - 4 a - 4 b t )

Substituindo então na equação

overset(¨)(x) + 4 x = cos 2 t

cos 2 t (4 b - 4 a t) + sen 2 t ( - 4 a - 4 b t ) + 4 (a t cos 2 t + b t sen 2 t) = cos 2 t

4 b cos 2 t - 4 a sen 2 t = cos 2 t

Temos então

a = 0

4 b = 1

b = (1)/(4)

E a solução particular é dada por

x_p (t) = (1)/(4) t sen 2 t

E a solução geral é dada por

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

x (t) = A cos 2 t + B sen 2 t + (1)/(4) t sen 2 t

Com A , B in R .

Passo 4

Temos então as condições x (0) = 0 e overset(˙)(x) (0) = 0 , substituindo primeiro t = 0 na equação

x (t) = A cos 2 t + B sen 2 t + (1)/(4) t sen 2 t

x (0) = A cos 0 + B sen 0 + 0 = 0

A = 0

Derivando agora

x^' (t) = - 2 A sen 2 t + 2 B cos 2 t + (1)/(4) sen 2 t + (1)/(2) t cos 2 t

Substituindo t = 0

x^' (0) = - 2 A sen 0 + 2 B cos 0 + (1)/(4) sen 0 + 0 = 0

2 B = 0

B = 0

E temos

x (t) = (1)/(4) t sen 2 t

Resposta

x (t) = (1)/(4) t sen 2 t

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