Determine a solução geral.

x¨ - 2x˙ = sen(3t)

Passo 1

A solução geral que estamos buscando é da forma

x t = x h t + x p t

Onde x h t é a solução homogênea e x p t a solução particular.

Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação

x ¨ - 2 x ˙ = 0

Vamos então supor a solução x h t = e r t , para isso calculamos as derivadas

x ˙ = r e r t

x ¨ = r 2 e r t

Substituindo na equação temos

r 2 e r t - 2 r e r t = 0

Colocando e r t em evidência

e r t r 2 - 2 r = 0

r 2 - 2 r = 0

Passo 2

Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada

r 2 - 2 r = 0

r ( r - 2 ) = 0

Temos então

r 1 = 0

r 2 = 2

Portanto a solução homogênea é da forma

x h t = A   + B e 2 t

Onde A e B são constantes reais, ou A , B ∈ R .

Passo 3

Para a solução particular, vamos seguir a cara da função de entrada, que neste caso é sen ⁡ 3 t .

Temos então como entrada um seno, para esse tipo de entrada, como o coeficiente da primeira derivada não é nulo, vamos supor que a solução particular tem a cara

x p t = a cos ⁡ 3 t + b sen ⁡ 3 t

Calculando as derivadas

x p ' t = - 3 a sen ⁡ 3 t + 3 b cos ⁡ 3 t

x p ' ' t = - 9 a cos ⁡ 3 t - 9 b sen ⁡ 3 t

Substituindo então na equação

x ¨ - 2 x ˙ = sen ⁡ 3 t

- 9 a cos ⁡ 3 t - 9 b sen ⁡ 3 t - 2 - 3 a sen ⁡ 3 t + 3 b cos ⁡ 3 t = sen ⁡ 3 t

- 9 a - 6 b cos ⁡ 3 t + 6 a - 9 b sen ⁡ 3 t = sen ⁡ 3 t

Temos então o sistema

6 a - 9 b = 1 - 9 a - 6 b = 0

Isolando a na segunda equação

9 a = - 6 b

a = - 6 9 b = - 2 3 b

Substituindo na primeira

6 a - 9 b = 1

6 - 2 3 b - 9 b = 1

- 4 b - 9 b = 1

- 13 b = 1

b = - 1 13

Logo

a = - 2 3 - 1 13 = 2 39

E a solução particular é dada por

x p t = 2 39 cos ⁡ 3 t - 1 13 sen ⁡ 3 t

E a solução geral é dada por

x t = x h t + x p t

x t = A   + B e 2 t + 2 39 cos ⁡ 3 t - 1 13 sen ⁡ 3 t

Com A , B ∈ R .

Resposta

x t = A   + B e 2 t + 2 39 cos ⁡ 3 t - 1 13 sen ⁡ 3 t

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