Enunciado

Determine a solução geral.

overset(¨)(x) - 2 overset(˙)(x) = sen 3 t

Passo 1

A solução geral que estamos buscando é da forma

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

Onde x_h (t) é a solução homogênea e x_p (t) a solução particular.

Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação

overset(¨)(x) - 2 overset(˙)(x) = 0

Vamos então supor a solução x_h (t) = e^(r t) , para isso calculamos as derivadas

overset(˙)(x) = r e^(r t)

overset(¨)(x) = r^2 e^(r t)

Substituindo na equação temos

r^2 e^(r t) - 2 r e^(r t) = 0

Colocando e^(r t) em evidência

e^(r t) (r^2 - 2 r) = 0

r^2 - 2 r = 0

Passo 2

Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada

r^2 - 2 r = 0

r ( r - 2 ) = 0

Temos então

r_1 = 0

r_2 = 2

Portanto a solução homogênea é da forma

x_h (t) = A + B e^(2 t)

Onde A e B são constantes reais, ou A , B in R .

Passo 3

Para a solução particular, vamos seguir a cara da função de entrada, que neste caso é sen 3 t .

Temos então como entrada um seno, para esse tipo de entrada, como o coeficiente da primeira derivada não é nulo, vamos supor que a solução particular tem a cara

x_p (t) = a cos 3 t + b sen 3 t

Calculando as derivadas

x_p^' (t) = - 3 a sen 3 t + 3 b cos 3 t

x_p^(' ') (t) = - 9 a cos 3 t - 9 b sen 3 t

Substituindo então na equação

overset(¨)(x) - 2 overset(˙)(x) = sen 3 t

- 9 a cos 3 t - 9 b sen 3 t - 2 (- 3 a sen 3 t + 3 b cos 3 t) = sen 3 t

(- 9 a - 6 b) cos 3 t + (6 a - 9 b) sen 3 t = sen 3 t

Temos então o sistema

{[[6 a - 9 b = 1],[- 9 a - 6 b = 0]])

Isolando a na segunda equação

9 a = - 6 b

a = - (6)/(9) b = - (2)/(3) b

Substituindo na primeira

6 a - 9 b = 1

6 (- (2)/(3) b) - 9 b = 1

- 4 b - 9 b = 1

- 13 b = 1

b = - (1)/(13)

Logo

a = - (2)/(3) (- (1)/(13)) = (2)/(39)

E a solução particular é dada por

x_p (t) = (2)/(39) cos 3 t - (1)/(13) sen 3 t

E a solução geral é dada por

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

x (t) = A + B e^(2 t) + (2)/(39) cos 3 t - (1)/(13) sen 3 t

Com A , B in R .

Resposta

x (t) = A + B e^(2 t) + (2)/(39) cos 3 t - (1)/(13) sen 3 t

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