Uma mola com uma massa de tem uma constante de amortecimento , e uma força de é necessária para manter a mola esticada além de seu comprimento natural. A mola é esticada além de seu comprimento natural e então solta com velocidade zero. Determine a posição da massa em qualquer instante .
Passo 1
A posição em um tempo de um sistema massa-mola geral é regido pela seguinte equação diferencial:
Onde é a massa do objeto, é a constante de amortecimento, é a constante elástica da mola e é uma força externa atuando nela.
Passo 2
Um objeto tem e é preso a uma mola com constante de amortecimento . Uma força de é necessária para distorcê-la . Ele é puxado até uma distância inicial , solto com velocidade inicial .
Pela lei de Hooke, . Se são necessários para esticar a mola por , então:
Agora vamos escrever a equação diferencial com as informações que temos:
Passo 3
Vamos agora resolver essa equação diferencial utilizando a equação auxiliar:
Como a equação auxiliar tem duas soluções reais diferentes e , sua solução é:
Passo 4
Agora vamos utilizar os seguintes valores iniciais:
Somando as duas equações:
Utilizando o fato que :
Assim a solução final é: