Uma mola com uma massa de 2 k g tem uma constante de amortecimento 14 , e uma força de 6 N é necessária para manter a mola esticada 0,5 m além de seu comprimento natural. A mola é esticada 1 m além de seu comprimento natural e então solta com velocidade zero. Determine a posição da massa em qualquer instante t .

Passo 1

A posição x em um tempo t de um sistema massa-mola geral é regido pela seguinte equação diferencial:

m d 2 x d t 2 + c d x d t + k x = F t

Onde m é a massa do objeto, c é a constante de amortecimento, k é a constante elástica da mola e F ( x ) é uma força externa atuando nela.

Passo 2

Um objeto tem 2 k g e é preso a uma mola com constante de amortecimento c = 14 . Uma força de 6 N é necessária para distorcê-la 0,5 m . Ele é puxado até uma distância inicial x 0 = 1 , solto com velocidade inicial v 0 = 0 .

Pela lei de Hooke, | F | = | k x | . Se são necessários 6 N para esticar a mola por 0,5 m , então:

6 = 0,5 k → k = 12

Agora vamos escrever a equação diferencial com as informações que temos:

{ 2 x ' ' + 14 x ' + 12 x = 0   x 0 = 1   v 0 = x ' 0 = 0  

Passo 3

Vamos agora resolver essa equação diferencial utilizando a equação auxiliar:

2 r 2 + 14 r + 12 = 0

r + 1 r + 6 = 0

r 1 = - 1 ,     r 2 = - 6

Como a equação auxiliar tem duas soluções reais diferentes r 1 e r 2 , sua solução é:

x ( t ) = C 1 e r 1 t + C 2 e r 2 t

x t = C 1 e - t + C 2 e - 6 t

v t = x ' t = - C 1 e - t - 6 C 2 e - 6 t

Passo 4

Agora vamos utilizar os seguintes valores iniciais:

{ x 0 = 1   x ' 0 = 0  

{ 1 = C 1 + C 2 ,     ( 1 )   0 = - C 1 - 6 C 2 ,     ( 2 )  

Somando as duas equações:

1 = - 5 C 2

C 2 = - 1 5

Utilizando o fato que C 1 + C 2 = 1 :

C 1 = 1 - C 2 → C 1 = 6 5

Assim a solução final é:

x t = 6 5 e - x - 1 5 e - 6 x

Resposta

x t = 6 5 e - x - 1 5 e - 6 x

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