Enunciado

Determine P - = x - ,   y - como no teorema do valor médio, sendo dados:

b) f x , y = x 3 + x y 2 ,   P 0 = 1 , 1   e   P 1 = 2 , 2

Passo 1

Se liga: a questão quer que a gente use o TVM, então precisamos deixar nossa função nas condições do teorema, né? Não lembra como ele é? Tá, vou colocar aqui pra você:

“Dados um conjunto A aberto do R 2 , P 0 e P 1 dois pontos de A tais que o segmento P 0 P 1 esteja contido em A. Nestas condições, se f ( x ) é diferenciável em A, então existirá pelo menos um ponto P - = x - , y - interno ao segmento P 0 P 1 ,   tal que:

f P 1 - f P 0 = ∇ f P - ⋅ (   P 1 - P 0 )

Então precisamos definir um conjunto que contenha os pontos P 0 e P 1 , e que seja aberto, como por exemplo A = x , y ∈ R 2 |   x > 0   e   y > 1 .

Além disso, meu parceiro, a função que nos foi dada é uma função polinomial, que é diferenciável no R 2   inteiro, e em particular, a função é diferenciável no conjunto A. E como construímos o conjunto A de modo que os pontos P 0 e P 1 estivessem dentro dele, podemos usar o teorema, beleza?

Ou seja, existe um ponto

P - = x - ,   y -

Tal que

f 2 , 2 - f 1 , 1 = ∇ f P - 2 , 2 - 1 , 1

f 2 , 2 - f 1 , 1 = f P - ⋅ ( 1 , 1 )

Os valores da função nesses pontos é:

f 2 ,   2 = 2 3 + 2 2 2 = 16

f 1 ,   1 = 1 3 + 1 1 2 = 2

Assim,

16 - 2 = f P - ⋅ 1 , 1

f P - ⋅ 1 , 1 = 14

Passo 2

Vamos encontrar o gradiente da função para poder substituir na expressão acima.

f x , y = x 3 + x y 2

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Encontrando as derivadas:

∇ f x , y = 3 x 2 + y 2 ,   2 x y

Daí, para P - = x - ,   y   ̅ , temos que ∇ f x - ,   y - = 3 x - 2 + y - 2 ,   2 x - y - . Substituindo,

3 x - 2 + y - 2 ,   2 x - y - ⋅ 1 ,   1 = 1 4

Desenvolvendo o produto interno:

3 x - 2 + y - 2 + 2 x - y - = 14

Passo 3

O ponto que precisamos, segundo o TVM, vai estar no segmento P 1 P 0 . Então ele satisfaz a equação da reta que passa por esses pontos! A equação da reta é dada por

y = y 0 + m ( x - x 0 )

Onde

m = y 1 -   y 0 x 1 - x 0

Substituindo os pontos,

m = 2 - 1 2 - 1 = 1  

y - = 1 + 1 x - - 1 →   y - = 1 + x - - 1

y - = x -

Sendo assim, o ponto que desejamos deve satisfazer ao sistema

  3 x - 2 + y - 2 + 2 x - y - = 14 x - = y -

Substituindo a segunda na primeira:

3 x - 2 + x - 2 + 2 x - 2 = 14

Juntando e simplificando:

3 x - 2 = 7

Essa equação nos daria duas soluções, mas nesse caso, o x - tem que estar entre 1 e 2 , que são as abscissas de P 0 e P 1 , e então vamos pegar o positivo.

x - = 7 3

E portanto,

y - = 7 3

Então, o ponto que estamos procurando é:

P - = 7 3 , 7 3

Resposta

P - = 7 3 , 7 3

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Suponha que f: IR² → IR seja homogênea do grau 2 ef a , b = a para todo ( a , b ) , com a 2 + b 2 = 1 . Calcule: f x , y ,( x , y ) ≠ ( 0,0 )
Verifique se a função é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade. f x , y = 2 x 2 + y ² ²
Seja f: IR² → IR homogênea e suponha que f a , b = 0 para todo ( a , b ) , com a 2 + b 2 = 1 . Mostre que f x , y = 0 para todo x , y ≠ 0,0 .
Suponha que f: IR² → IR seja homogênea do grau 2 ef a , b = a para todo ( a , b ) , com a 2 + b 2 = 1 . Calcule: f 4 3 , 4
Suponha que f: IR² → IR seja homogênea do grau 2 ef a , b = a para todo ( a , b ) , com a 2 + b 2 = 1 . Calcule: f 4 3 , 4