Enunciado

Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem

Passo 1

Seja a função: f x , y = x 3 y 5 + 2 x 4 y

Para obter f x x , temos de obter, primeiro, f x e, em seguida, derivar novamente em relação a x . Nesse caso, estamos considerando y constante em ambas as derivações.

f x = 3 x 2 y 5 + 8 x 3 y

f x x = 6 x y 5 + 24 x 2 y

Passo 2

Para obter f y y , temos de obter, primeiro, f y e, em seguida, derivar novamente em relação a y . Nesse caso, estamos considerando x constante em ambas as derivações.

f y = 5 x 3 y 4 + 2 x 4

f y y = 20 x 3 y 3

Passo 3

Para obter f x y , vamos pegar a nossa derivada em relação a x e então derivar em relação a y .

f x = 3 x 2 y 5 + 8 x 3 y

f x y = 15 x 2 y 4 + 8 x 3

Como f x y é uma função contínua (todo polinômio é uma função contínua), pelo Teorema de Clairaut, podemos afirmar que f x y = f y x

Resposta

f x x = 6 x y 5 + 24 x 2 y

f y y = 20 x 3 y 3

f x y = f y x = 15 x 2 y 4 + 8 x 3

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Seja f : A ∈ R 3 → R , A aberto de classe C 2 Justifique as igualdades:a) ∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x b) ∂ 2 f ∂ x ∂ z = ∂ 2 f ∂ z ∂ x c) ∂ 2 f ∂ y ∂ z = ∂ 2 f ∂ z ∂ y
Sejam f , g : A ∈ R 2 → R , A aberto, duas funções de classe C 2 e tais que ∂ f ∂ x = ∂ g ∂ y e ∂ f ∂ y = - ∂ g ∂ x Prove que ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 e ∂ 2 g ∂ x 2 + ∂ 2 g ∂ y 2 = 0 .
Verifique que x ∂ 2 z ∂ x ∂ y + y ∂ 2 z ∂ y 2 = 0 , onde z = x + y e x y .
Seja f x , y = 1 x 2 + y 2 . Verifique que a) x ∂ 2 f ∂ x 2 x , y + y ∂ 2 f ∂ y ∂ x x , y = - 3 ∂ f ∂ x x , y b) ∂ 2 f ∂ x 2 x , y + ∂ 2 f ∂ y 2 x , y = 4 x 2 + y 2 2
Calcule todas as derivadas parciais de 2ª ordem:a) f x , y = x 3 y 2 b) z = e x 2 - y 2 c) z = ln ⁡ 1 + x 2 + y 2 d) g x , y = 4 x 3 y 4 + y 3