Enunciado

Seja f (x , y) = (1)/(x^2 + y^2) . Verifique que

a) x (del^2 f)/(del x^2) (x , y) + y (del^2 f)/(del y del x) (x , y) = - 3 (del f)/(del x) (x , y)

b) (del^2 f)/(del x^2) (x , y) + (del^2 f)/(del y^2) (x , y) = (4)/((x^2 + y^2)^2)

Passo 1

O enunciado dos dá uma função f de duas variáveis e nos pede para mostrar duas relações matemáticas a partir da f .

A único que devemos fazer para resolver esta questão é determinar as derivadas 2ªs da f e substituir na equação dada, então, vamos nessa!

Passo 2

Para ambos os itens, é necessário que primeiramente calculemos as derivadas 2ªs da f . E não tem mistério! Só devemos ter muita calma na hora de obter as derivadas para não ir acumulando erros.

Primeiramente, as derivadas de primeira ordem dessa função são o mais fácil de obter:

(del f)/(del x) = (del)/(del x) [(1)/(x^2 + y^2)] = - (1)/((x^2 + y^2)^2) 2 x

(del f)/(del y) = (del)/(del y) [(1)/(x^2 + y^2)] = - (1)/((x^2 + y^2)^2) 2 y

Agora, com muito cuidado, vamos calcular as derivadas segundas a partir dos valores que acabamos de obter (usando a regra da cadeia!):

(del^2 f)/(del x^2) = (del)/(del x) [(del f)/(del x)] = (del)/(del x) [- (1)/((x^2 + y^2)^2) 2 x] = 2 x (del)/(del x) [- (1)/((x^2 + y^2)^2)] - (1)/((x^2 + y^2)^2) (del)/(del x) [2 x] = 2 x (2)/((x^2 + y^2)^3) 2 x - (1)/((x^2 + y^2)^2) 2

(del^2 f)/(del x del y) = (del)/(del x) [(del f)/(del y)] = (del)/(del x) [- (1)/((x^2 + y^2)^2) 2 y] = (2)/((x^2 + y^2)^3) 2 x 2 y

(del^2 f)/(del y del x) = (del)/(del y) [(del f)/(del x)] = (del)/(del y) [- (1)/((x^2 + y^2)^2) 2 x] = (2)/((x^2 + y^2)^3) 2 y 2 x

(del^2 f)/(del y^2) = (del)/(del y) [(del f)/(del y)] = (del)/(del y) [- (1)/((x^2 + y^2)^2) 2 y] = 2 y (del)/(del y) [- (1)/((x^2 + y^2)^2)] - (1)/((x^2 + y^2)^2) (del)/(del y) [2 y] = 2 y (2)/((x^2 + y^2)^3) 2 y - (1)/((x^2 + y^2)^2) 2

Arrumando a casa um pouquinho, obtemos as derivadas segundas:

(del^2 f)/(del x^2) = (8 x^2)/((x^2 + y^2)^3) - 2 (x^2 + y^2)/((x^2 + y^2)^3) = (6 x^2 - 2 y^2)/((x^2 + y^2)^3)

(del^2 f)/(del x del y) = (del^2 f)/(del y del x) = (8 x y)/((x^2 + y^2)^3)

(del^2 f)/(del y^2) = (6 y^2 - 2 x^2)/((x^2 + y^2)^3)

Passo 3

Agora que o trabalho braçal ficou pra trás (ufff!) é tranquilo e favorável: vamos substituir o que obtivemos no lado esquerdo da equação dada e ver se bate com o lado direito.

Assim, para o item a):

x (del^2 f)/(del x^2) (x , y) + y (del^2 f)/(del y^2) (x , y) = x (6 x^2 - 2 y^2)/((x^2 + y^2)^3) + y (8 x y)/((x^2 + y^2)^3) = (6 x^3 - 2 x y^2 + 8 x y^2)/((x^2 + y^2)^3)

Note que podemos desenvolver ainda mais ô:

x (del^2 f)/(del x^2) + y (del^2 f)/(del y^2) = 6 (x^3 + x y^2)/((x^2 + y^2)^3) = 6 (x)/((x^2 + y^2)^2)

Agora, se voltarmos na nossa expressão para (del f)/(del x) , poderemos confirmar que a equação acima é igualzinha a - 3 (del f)/(del x) , como queríamos provar!

Passo 4

Agora que o trabalho braçal ficou pra trás (ufff!) é tranquilo e favorável: vamos substituir o que obtivemos no lado esquerdo da equação dada e ver se bate com o lado direito.

Assim, para o item b):

(del^2 f)/(del x^2) + (del^2 f)/(del y^2) = (6 x^2 - 2 y^2)/((x^2 + y^2)^3) + (6 y^2 - 2 x^2)/((x^2 + y^2)^3) = (4 y^2 + 4 x^2)/((x^2 + y^2)^3)

Note que podemos desenvolver ainda mais simplificando a fração:

(del^2 f)/(del x^2) + (del^2 f)/(del y^2) = (4 (y^2 + x^2))/((x^2 + y^2)^3) = (4)/((x^2 + y^2)^2)

Que é o que queríamos provar!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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