Seja f(x, y) = 1 / (x^2 + y^2) . Verifique que

a) x * (∂^2 f / ∂x^2)(x, y) + y * (∂^2 f / ∂y∂x)(x, y) = -3 * (∂f / ∂x)(x, y)

b) (∂^2f/∂x^2)(x, y) + (∂^2f/∂y^2)(x, y) = 4/(x^2 + y^2)^2

Passo 1

O enunciado dos dá uma função f de duas variáveis e nos pede para mostrar duas relações matemáticas a partir da f .

A único que devemos fazer para resolver esta questão é determinar as derivadas 2ªs da f e substituir na equação dada, então, vamos nessa!

Passo 2

Para ambos os itens, é necessário que primeiramente calculemos as derivadas 2ªs da f . E não tem mistério! Só devemos ter muita calma na hora de obter as derivadas para não ir acumulando erros.

Primeiramente, as derivadas de primeira ordem dessa função são o mais fácil de obter:

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x 1 x 2 + y 2 = - 1 x 2 + y 2 2 2 x

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 1 x 2 + y 2 = - 1 x 2 + y 2 2 2 y

Agora, com muito cuidado, vamos calcular as derivadas segundas a partir dos valores que acabamos de obter (usando a regra da cadeia!):

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x - 1 x 2 + y 2 2 2 x = 2 x ∂ ∂ x - 1 x 2 + y 2 2 - 1 x 2 + y 2 2 ∂ ∂ x 2 x = 2 x 2 x 2 + y 2 3 2 x - 1 x 2 + y 2 2 2

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x - 1 x 2 + y 2 2 2 y = 2 x 2 + y 2 3 2 x 2 y

∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x = ∂ ∂ y - 1 x 2 + y 2 2 2 x = 2 x 2 + y 2 3 2 y 2 x

∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y - 1 x 2 + y 2 2 2 y = 2 y ∂ ∂ y - 1 x 2 + y 2 2 - 1 x 2 + y 2 2 ∂ ∂ y 2 y = 2 y 2 x 2 + y 2 3 2 y - 1 x 2 + y 2 2 2

Arrumando a casa um pouquinho, obtemos as derivadas segundas:

∂ 2 f ∂ x 2 = 8 x 2 x 2 + y 2 3 - 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 3 = 6 x 2 - 2 y 2 x 2 + y 2 3

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x = 8 x y x 2 + y 2 3

∂ 2 f ∂ y 2 = 6 y 2 - 2 x 2 x 2 + y 2 3

Passo 3

Agora que o trabalho braçal ficou pra trás (ufff!) é tranquilo e favorável: vamos substituir o que obtivemos no lado esquerdo da equação dada e ver se bate com o lado direito.

Assim, para o item a):

x ∂ 2 f ∂ x 2 x , y + y ∂ 2 f ∂ y 2 x , y = x 6 x 2 - 2 y 2 x 2 + y 2 3 + y 8 x y x 2 + y 2 3 = 6 x 3 - 2 x y 2 + 8 x y 2 x 2 + y 2 3

Note que podemos desenvolver ainda mais ô:

x ∂ 2 f ∂ x 2 + y ∂ 2 f ∂ y 2 = 6 x 3 + x y 2 x 2 + y 2 3 = 6 x x 2 + y 2 2

Agora, se voltarmos na nossa expressão para ∂ f ∂ x , poderemos confirmar que a equação acima é igualzinha a - 3 ∂ f ∂ x , como queríamos provar!

Passo 4

Agora que o trabalho braçal ficou pra trás (ufff!) é tranquilo e favorável: vamos substituir o que obtivemos no lado esquerdo da equação dada e ver se bate com o lado direito.

Assim, para o item b):

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 6 x 2 - 2 y 2 x 2 + y 2 3 + 6 y 2 - 2 x 2 x 2 + y 2 3 = 4 y 2 + 4 x 2 x 2 + y 2 3

Note que podemos desenvolver ainda mais simplificando a fração:

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 4 y 2 + x 2 x 2 + y 2 3 = 4 x 2 + y 2 2

Que é o que queríamos provar!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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