Enunciado

Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.

z = y 2 x + 3 y

Passo 1

Vamos lá, a gente tem que encontrar

z x x ,   z y y ,   z x y   e   z y x

Pra isso, primeiro a gente faz as derivadas de primeira ordem. Vamos lá...

z x =   - 2 y 2 x + 3 y 2

z y = 1 2 x + 3 y - 3 y 2 x + 3 y 2 = 2 x 2 x + 3 y 2

Show! Agora a gente deriva isso de novo em relação a cada uma variável.

Passo 2

Derivando z x em relação a x de novo:

z x x =   2 2 x + 3 y 2 2 y 2 x + 3 y 2

z x x = 8 y ( 2 x + 3 y )

E em relação a y :

z x y = - 2 2 x + 3 y 2 - 2 ( 2 x + 3 y ) ( 3 ) ( - 2 y ) 2 x + 3 y 2

z x y =   - 2 2 x + 3 y + 12 y ( 2 x + 3 y ) =   - 4 x + 6 y 2 x + 3 y

Passo 3

Agora vamos derivar z y em relação a x :

z y x = 2 2 x + 3 y 2 - 2 2 x + 3 y ( 2 ) ( 2 x ) 2 x + 3 y 2

= 2 2 x + 3 y - 8 x ( 2 x + 3 y ) =   - 4 x + 6 y   2 x + 3 y

E em relação a y ...

z y y =   - 2 2 x + 3 y 3 ( 2 x ) 2 x + 3 y 2 =   - 12 x 2 x + 3 y 2

Prontinho! Calculamos todas as derivadas de segunda ordem😊

Resposta

z x x = 8 y ( 2 x + 3 y )

z x y = - 4 x + 6 y 2 x + 3 y = z y x

z y y =     - 12 x 2 x + 3 y 2

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