Suponha que f'(x) = 2x para todo x. Determine f(2) se f(1) = 0 .

Passo 1

A derivada da nossa função tem valor igual a 2 x para todo x, queremos saber o valor de f ( 2 ) no caso da nossa função ser nula quando x = 1 . Primeiramente para sabermos o valor de f ( 2 ) precisamos saber quem é nossa f ( x ) para, assim, substituirmos o valor 2 e descobrirmos o que a questão deseja.

Passo 2

Como consequência direta do teorema do valor médio temos um corolário que diz que se encontrarmos uma função g x tal que g ' x = f ' ( x ) para todo valor de x em um intervalo, então, existe uma constante C tal que f x = g x + C para qualquer x e é exatamente por aqui que começaremos a resolver o problema.

Tomando uma função g x = x 2 percebemos que g ' x = 2 x que possui uma derivada idêntica de f ' ( x ) .

Passo 3

Tendo em vista que f ' x = g ' x   → f x = g x + C . Sendo assim, aplicaremos a condição que diz que f 1 = 0 ,   e n t ã o :

f 1 = g 1 + C

0 = 1 + C  

∴ C = - 1 .

Passo 4

Sendo assim, f x = x 2 - 1 para o problema, então, para sabermos quanto vale f 2 , basta substituirmos x por 2 na equação:

f 2 = 2 2 - 1

f 2 = 4 - 1

f 2 = 3

Resposta

∴ f 2 = 3

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