Enunciado

Determine o trabalho realizado pelo campo de força F → ao mover um objeto de P a Q .

F → x , y = e - y i → - x e - y j → ;       P 1,1 ,   Q ( 2,0 )

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra mostrar que aquela integral independe do caminho precisamos saber se o campo vetorial F → é conservativo.

Mas como? Calma que eu explico!

Um campo conservativo é aquele no qual as derivadas mistas das componentes são iguais, saca só. Se F → é:

F → = F x i → + F y j →

Então para ser conservativo tem que satisfazer isso aqui:

∂ F x ∂ y = ∂ F y ∂ x

Ok? Vamos aplicar para o campo dado? Bora lá:

∂ F x ∂ y = ∂ e - y ∂ y = - e - y

E também:

∂ F y ∂ x = ∂ - x e - y ∂ x = - e - y

Beleza! Esse campo vetorial é conservativo! Vamos agora determinar a função potencial associada a ele!

E temos que o valor da integral de caminho vai depender apenas da função potencial aplicada nos pontos final e inicial.

Passo 2

Vamos primeiro pegar uma das parciais, por exemplo ∂ F x / ∂ x e integrar em relação à x :

∫ ∂ F x ∂ x = ∫ ( e - y ) d x

Isso vai nos dar a função potencial f mais uma constante só de y , digamos g ( y ) (pois derivando em relação à x ela desaparece, sacou?):

f = x e - y + g y

Pronto! Essa é a função potencial!

Tá, mas e aquela função de y ali? Calma, no próximo passo vamos determinar ela!

Passo 3

Legal! O próximo passo é derivar a função potencial determinada em relação à y :

∂ f ∂ y = - x e - y + g ' ( y )

Ta, mas e agora? Agora olha o pulo do gato! Vamos resgatar do passo 1 a componente y do campo dado:

F y = - x e - y + g ' ( y )

E agora vamos igualar os dois lados!

- x e - y = - x e - y + g ' ( y )

Beleza! Agora integrando em relação à y determinamos a função g y :

g ' x = 0

∫ g ' ( y ) d y = ∫ 0 d y = + C

g y = C

Onde C é uma constante qualquer.

Agora sim! Juntando com o resultado do passo 2 temos a função potencial completa:

f = x e - y + C

Passo 4

Show! Agora temos que o ponto inicial é ( 1,1 ) e a função nesse ponto é:

f 1,1 = 1 e - 1 + C = 1 e + C

Agora temos que o ponto inicial é ( 2,0 ) e a função nesse ponto é:

f 2,0 = 2 . e 0 + C = 2 + C

Beleza! Agora sabemos que para um campo conservativo:

∫ C F → ⋅ d r → = f f i n a l - f i n i c i a l = 2 + C - 1 e + C = 1 e - 2 = 2 e - 1 e

É isso! O valor de ∫ C F → ⋅ d r → é 2 e - 1 e !

Resposta

∫ C F → ⋅ d r → = 2 e - 1 e

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19-22. Calcule a integral de linha ∫ C F ∙ d r , onde C é dada pela função vetorial r ( t ) .19. F x ,y = x y 2 i - x 2 j ,r t = t 3 i + t 2 j ,0 ≤ t ≤ 1
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