Enunciado

A figura abaixo mostra o campo vetorial F → x , y = 2 x y , x 2 e três curvas que começam em ( 1,2 ) e terminam em ( 3,2 ) .

  1. Explique por que ∫ C F → ⋅ d r → tem o mesmo valor para as três curvas.
  2. Qual é esse valor comum?

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra mostrar que aquela integral independe do caminho precisamos saber se o campo vetorial F → é conservativo.

Mas como? Calma que eu explico!

Um campo conservativo é aquele no qual as derivadas mistas das componentes são iguais, saca só. Se F → é:

F → = F x i → + F y j →

Então para ser conservativo tem que satisfazer isso aqui:

∂ F x ∂ y = ∂ F y ∂ x

Ok? Vamos aplicar para o campo dado? Bora lá:

∂ F x ∂ y = ∂ 2 x y ∂ y = 2 x

E também:

∂ F y ∂ x = ∂ x 2 ∂ x = 2 x

Beleza! Esse campo vetorial é conservativo! Vamos agora determinar a função potencial associada a ele!

E temos que o valor da integral de caminho vai depender apenas da função potencial aplicada nos pontos final e inicial.

Passo 2

Vamos primeiro pegar uma das parciais, por exemplo ∂ F x / ∂ x e integrar em relação à x :

∫ ∂ F x ∂ x = ∫ ( 2 x y ) d x

Isso vai nos dar a função potencial f mais uma constante só de y , digamos g ( y ) (pois derivando em relação à x ela desaparece, sacou?):

f = x 2 y + g ( y )

Pronto! Essa é a função potencial!

Tá, mas e aquela função de y ali? Calma, no próximo passo vamos determinar ela!

Passo 3

Legal! O próximo passo é derivar a função potencial determinada em relação à y :

∂ f ∂ y = x 2 + g ' ( y )

Ta, mas e agora? Agora olha o pulo do gato! Vamos resgatar do passo 1 a componente y do campo dado:

F y = x 2

E agora vamos igualar os dois lados!

x 2 = x 2 + g ' ( y )

Beleza! Agora integrando em relação à y determinamos a função g y :

g ' x = 0

∫ g ' ( y ) d y = ∫ 0 d y = + C

g y = C

Onde C é uma constante qualquer.

Agora sim! Juntando com o resultado do passo 2 temos a função potencial completa:

f = x 2 y + C

Passo 4

Show! Agora temos que o ponto final é ( 3,2 ) e a função potencial nesse ponto é:

f 3,2 = 3 2 . 2 + C = 18 + C

E no ponto inicial, que é ( 1,2 ) a função f vale:

f 1,2 = 1 2 . 2 + C = 2 + C

Beleza! Agora sabemos que para um campo conservativo:

∫ C F → ⋅ d r → = f f i n a l - f i n i c i a l = 18 + C - 2 + C = 18 - 2 = 16

É isso! O valor em comum é 16 !

Resposta

a o c a m p o   é   c o n s e r v a t i v o .   f = x 2 y + C

( b ) ∫ C F → ⋅ d r → = 16

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Calcule ∫ γ xd x + yd y , sendo γ dada por x = t 2 e y = s e nt , 0 ≤ t ≤ π / 2 .
Calcule ∫ γ - y 4 x 2 + y 2 d x + x 4 x 2 + y 2 d y Onde γ tem por imagem a elipse 4 x 2 + y 2 = 9 e o sentido do percurso é o anti-horário.
Calcule ∫ γ xd x - yd y , onde γ é o segmento de extremidades 1,1 e 2,3 , percorridos no sentido de 1,1 para 2,3 .
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