Enunciado

Determine o valor máximo absoluto de f x = x 2 ln ⁡ 1 x e indique onde a função assume esse valor.

Passo 1

Vamos começar derivando a função:

f ' x = 2 x ln ⁡ 1 x + x 2 1 1 x   1 x '

f ' x =   2 x ln ⁡ 1 x + x 2 x - 1 x 2

f ' x =   2 x ln ⁡ 1 x - x

Passo 2

Vamos achar os pontos críticos igualando a derivada a zero:

f ' x =     2 x ln ⁡ 1 x - x = 0

x 2 ln ⁡ 1 x - 1 = 0  

Então:

Ou x = 0 ou 2 ln ⁡ 1 x - 1 = 0 → ln ⁡ 1 x = 1 2

Vamos eliminar o logaritmo usando a exponencial de ambos os lados:

e ln ⁡ 1 x = e 1 2  

E então...

1 x = e 1 2 → x = 1 e 1 2   = 1 e

Que é o nosso ponto crítico.

E o valor da função nesse ponto é:

f 1 e = 1 e 2 ln ⁡ 1 1 e

= 1 e ln ⁡ e 1 2   → 1 e 1 2 ln ⁡ e   → 1 2 e

Resposta

O valor máximo é 1 2 e e a função assume esse valor em x =   1 e .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um cilindro reto é inscrito numa esfera de raio R . Determinar esse cilindro, de forma que seu volume seja máximo
Seja s uma reta que passa pelo ponto ( 4,3 ) formando um triangulo com os eixos coordenados positivos. Qual a equação de s para que essa área seja mínima.
Uma cerca de 1m de altura está situada a uma distância de 1m da parede lateral de um galpão. Qual o comprimento da menor escada cujas extremidades se apoiam na parede e no chão do lado de fora da cerc
Um retângulo é inscrito num triângulo retângulo de catetos que mede 9c m e 12c m . Encontrar as dimensões do retângulo com maior área, supondo que sua posição é dada pela figura a seguir.
Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares, de dimensões a e b , com um lado comum a . Se cada pasto deve medir 400m 2 de área, determinar as dimensões a e b , de forma que o comprimento da ce