Enunciado

Seja s uma reta que passa pelo ponto ( 4,3 ) formando um triangulo com os eixos coordenados positivos. Qual a equação de s para que essa área seja mínima.

Passo 1

A ideia nessa questão será equacionar a reta passando pelo ponto 4,3 . Em seguida, vamos fazer as interseções com os eixos coordenados e achar a área. Por último, minimizaremos essa área. Vem comigo!

Vamos supor que o coeficiente angular da reta s seja m . Assim, podemos escrever a reta da seguinte maneira:

y - 3 = m x - 4

Assim,

y = m x - 4 + 3

Passo 2

Agora vamos achar as interseções com os eixos coordenados.

Quando x = 0 :

y = m 0 - 4 + 3

Isto é,

y = - 4 m + 3

Quando y = 0 :

0 = m x - 4 + 3

Logo,

x = - 3 m + 4

Fazendo uma ilustração:

Então a área do triangulo fica o seguinte:

A m = 1 2 - 3 m + 4 - 4 m + 3

Fazendo a distributiva:

A m = 1 2 12 - 9 m - 16 m + 12

Passo 3

Agora vamos derivar e igualar a zero para ver os pontos críticos. A área à é o seguinte:

A m = 1 2 24 - 9 m - 16 m

Derivando,

A ' m   = 1 2 9 m 2 - 16

Igualando a zero:

1 2 9 m 2 - 16 = 0

Logo,

9 m 2 - 16 = 0 → m 2 = 9 16

Tirando a raiz:

m = - 3 4 ou m = 3 4

Mas repare que pela ilustração do Passo 2 a reta deve ter coeficiente angular negativo. Assim,

m = - 3 4

Substituindo esse valor de m na equação do Passo 1:

y = - 3 4 x - 4 + 3

Fazendo as contas:

3 x + 4 y - 24 = 0

Resposta

3 x + 4 y - 24 = 0

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