Enunciado

Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares, de dimensões a e b , com um lado comum a . Se cada pasto deve medir 400   m 2 de área, determinar as dimensões a e b , de forma que o comprimento da cerca seja mínimo.

Passo 1

Pra começar, vamos fazer uma ilustração do que ele está nos dizendo. Olha só:

A gente sabe que a área de cada pasto é de 400   m 2 . Logo,

a b = 4 00

Isolando b :

b = 4 00 a       ( i )

Se considerarmos o comprimento total da cerca como l :

l = 3 a + 4 b

Substituindo i na expressão acima:

l a = 3 a + 16 00 a

Beleza, já temos uma equação para o comprimento da cerca.

Passo 2

Agora vamos derivar e igualar a zero para ver quais são os pontos críticos.

l a = 3 a + 16 00 a

Derivando,

l ' a = 3 - 16 00 a 2

Igualando a zero:

3 - 16 00 a 2 = 0

Assim,

a = 16 00 3

Simplificando,

a = 40 3 3

Opa, agora que já sabemos a   basta voltarmos em ( i ) e acharmos b .

b = 400 a

Portanto,

b = 400 40 3 3 → b = 10 3

Resposta

a = 40 3 3

b = 10 3

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