Enunciado

Determine os valores extremos (absoluto e local) das funções e onde ocorrem:

y = cos - 1 ⁡ ( x ² )

Passo 1

Sabendo que um ponto crítico é um valor extremo de uma função, a derivada da função deve ser igual a 0, uma vez que representa a inclinação de uma reta tangente que passa por esse ponto.

Encontrados os pontos críticos, faremos a segunda derivada para classifica-los em máximos e mínimos.

Passo 2

Lembrando que cos - 1 ( x ) ⁡ = arccos ⁡ x , derivando teremos:

y ' =   - 1 1 - x 4 × 2 x = - 2 x 1 - x 4

Passo 3

Em y ' = 0 , teremos:

- 2 x 1 - x 4 = 0

- 2 x × 1 - x 4 1 - x 4 = 0

- 2 x × 1 - x 4 = 0

- 2 x = 0

x 1 = 0

1 - x 4 = 0

1 - x 4 = 0

x 4 = 1

x 2 = 1       x 3 =   - 1

Passo 4

Fazendo a segunda derivada, usando a regra do quociente, vemos que:

y ' ' = - 2 1 - x 4 - 2 x × 4 x 3 2 1 - x 4 1 - x 4

Se o sinal é negativo, temos uma concavidade voltada para baixo.

Passo 5

Substituindo os pontos na equação original, teremos:

y 0 = cos - 1 ⁡ 0 2 =   π 2 ≈ 1,57

y 1 = cos - 1 ⁡ 1 2 = 0

y - 1 = cos - 1 ⁡ ( - 1 ) 2 = 0

Resposta

  M á x i m o   G l o b a l   e m   x 1 = 0   e   M í n i m o s   g l o b a i s   e m   x 2 = 1   e   x 3 = - 1

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