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Determine os valores extremos de f sujeita a ambas as restrições.

f x , y , z = x + 2 y ;                           x + y + z = 1 ,             y 2 + z 2 = 4

Passo 1

Bom, o exercício pede para acharmos os extremos de f sujeita às restrições dadas! O primeiro passo é verificar se esses extremos existem...

Temos a interseção de um plano ( x + y + z = 1 ) com um cilindro ( y 2 + z 2 = 4 ), que é um conjunto fechado e limitado. Assim, como f é contínua, pelo teorema do valor extremo, sabemos que f admite extremos absolutos sujeita às restrições!

Agora que sabemos que esses extremos existem, vamos procura-los pelo método dos multiplicadores de Lagrange! As restrições podem ser escritas como

g x , y , z = x + y + z - 1 = 0

h x , y , z = y 2 + z 2 - 4 = 0

Assim, os candidatos a extremos do problema são dados pela equação:

∇ f = λ   ∇ g + μ ∇ h

Os gradientes são:

∇ f x , y , z = ( 1 ,   2 ,   0 )

∇ g x , y , z = ( 1 ,   1 ,   1 )

∇ h x , y , z = ( 0 ,   2 y ,   2 z )

Assim,

1 ,   2 ,   0 = λ   1 ,   1 ,   1 + μ   ( 0 ,   2 y ,   2 z )

Podemos escrever essa equação como

λ = 1 λ + 2 y μ = 2 λ + 2 z μ = 0

Como λ = 1 , podemos reescrever:

2 y μ = 1 2 z μ = - 1

Passo 2

Isolando y e z :

y = 1 2 μ               e           z = - 1 2 μ

Agora vamos substituir essas relações na equação y 2 + z 2 = 4 :

1 4 μ 2 + 1 4 μ 2 = 4 ⇒ 1 2 μ 2 = 4 ⇒ μ 2 = 1 8 ⇒ μ = ± 1 2 2

Para o sinal negativo, obtemos:

y = - 2                 e             z = 2

Assim,

x = 1 - y - z = 1 + 2 - 2 = 1

Analogamente, para o sinal positivo:

y = 2 ,   z = - 2       e     x = 1

Desta forma, os candidatos a extremos são

1 ,   - 2 ,   2         e           ( 1 ,   2 ,   - 2 )

Passo 3

Calculando o valor da função nesses pontos:

f 1 ,   - 2 ,   2 = 1 - 2 2

f 1 ,   2 ,   - 2 = 1 + 2 2

Assim, o primeiro representa o mínimo e o segundo o máximo!

Resposta

f 1 ,   - 2 ,   2 = 1 - 2 2     →     m í n i m o

f 1 ,   2 ,   - 2 = 1 + 2 2       →         m á x i m o

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