Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 15
Determine os valores extremos de sujeita a ambas as restrições.
Passo 1
Bom, o exercício pede para acharmos os extremos de sujeita às restrições dadas! O primeiro passo é verificar se esses extremos existem...
Temos a interseção de um plano ) com um cilindro ), que é um conjunto fechado e limitado. Assim, como é contínua, pelo teorema do valor extremo, sabemos que admite extremos absolutos sujeita às restrições!
Agora que sabemos que esses extremos existem, vamos procura-los pelo método dos multiplicadores de Lagrange! As restrições podem ser escritas como
Assim, os candidatos a extremos do problema são dados pela equação:
Os gradientes são:
Assim,
Podemos escrever essa equação como
Como , podemos reescrever:
Passo 2
Isolando e :
Agora vamos substituir essas relações na equação :
Para o sinal negativo, obtemos:
Assim,
Analogamente, para o sinal positivo:
Desta forma, os candidatos a extremos são
Passo 3
Calculando o valor da função nesses pontos:
Assim, o primeiro representa o mínimo e o segundo o máximo!
Resposta
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