Enunciado

10. Determine a equação do plano que passa por 1,2 , 1 e determina com os planos coordenadas um tetraedro de volume maximo

Passo 1

Oii, no enunciado nos diz que queremos um volume máximo. Isso te faz pensar em algo? Sim ! teremos que derivar uma função de volume. Podemos escrever que nosso tetraedro tem o seguinte volume

V = x y z 6

Agora precisamos achar a equação do plano que passa por 1,2 , 1 . Podemos escrever uma equação genérica

a x + b y + c z + d = 0

E como esse ponto pertence a esse plano podemos plotar ele no plano e descobrir uma relação entre os fatores

a + 2 b + c + d = 0

d =   - a + 2 b + c

Show! Conseguimos eliminar uma variável. Nossa equação do plano se resume agora a

a x + b y + c z - a + 2 b + c = 0

Passo 2

Vamos calcular agora os gradientes

∇ V = y z 6 , x z 6 , x y 6

∇ P = a , b , c

Beleza! Com isso já conseguimos usar o método de Lagrange. Vamos montar o sistema

a = λ y z 6

b = λ x z 6

c = λ x y 6

a x + b y + c z - a + 2 b + c = 0

Podemos fazer o mesmo truque que o exercício 8, e deixar o lado direito das 3 primeiras equações iguais

a x = λ x y z 6

b y = λ x y z 6

c z = λ x y z 6

a x + b y + c z + d = 0

Beleza. Faremos uma subtração agora. Equação I – Equação II

a x - b y = 0

a x = b y

Agora mais uma manipulação. Equação II – Equação III

b y - c z = 0

b y = c z

Com isso sabemos que

a x = b y = c z

Vamos usar isso na equação IV do sistema

a x + b y + c z + d = 0

3 a x + d = 0

x = - d 3 a

Analogamente podemos dizer que y e z são

y =   - d 3 b

z =   - d 3 c

Passo 3

Podemos usar o ponto 1,2 , 1 para achar uma relação entre os nossos fatores

1 = - d 3 a

2 =   - d 3 b

1 =   - d 3 c

Com isso podemos dizer que

a = c = 2 b

Entao nossa equação do plano fica

2 b x + b y + 2 b z + d = 0

Agora basta achar d em função dos outros fatores. LA em cima achamos uma relação de d

d =   - a + 2 b + c

Agora que sabemos como se comportam esses fatores, podemos dizer que

d =   - 6 b

Por fim nossa equação do plano é

2 b x + b y + 2 b z - 6 b = 0

Podemos dividir tudo por b e finalizamos

2 x + y + 2 z - 6 = 0

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

2 x + y + 2 z - 6 = 0

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