Enunciado

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de dela da função.

f x , y = x 4 + y 4 - 4 x y + 2

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos essa equaçãozinha aii e depois dar o resultado. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser fazer cada uma das derivadas parciais.

f x = 4 x ³ - 4 y

f y = 4 y 3 - 4 x

f x x = 12 x 2

f x y =   - 4

f y y = 12 y ²

Para f x = 0 , chegamos a:

f y = 0 →     x = 0   o u   x = ± 1

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

Os pontos críticos são

0,0 ,   1,1 ,   ( - 1 , - 1 )

Para determinar a característica desses pontos, vamos calcular o D

D = f x x f y y - f x y 2

Para cada ponto!

Para (0,0):

0,0 → D =   - 16 → p o n t o   d e   s e l a

Para (1,1)

1,1 → D = 12.12 - - 4 2 = 128 > 0   e   f x x > 0 → m í n i m o   l o c a l

- 1 , - 1 →     D = 128 → m í n i m o   l o c a l

Resposta

0,0 → D =   - 16 → p o n t o   d e   s e l a

1,1 → D = 128 → m í n i m o   l o c a l

- 1 , - 1 →     D = 128 → m í n i m o   l o c a l

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