Enunciado

Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ∬ c F → ⋅ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S .

F → x , y , z = 4 x 3 z i → + 4 y 3 z j → + 3 z 4 k → , S   é a esfera com centro na origem e raio R

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos calcular o divergente do campo F → :

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z ( F z )

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x 4 x 3 z + ∂ ∂ y 4 y 3 z + ∂ ∂ z 3 z 4 = 12 x 2 z + 12 y 2 z + 12 z 3 = 12 z ( x 2 + y 2 + z 2 )

Certo? Agora vamos ver a região de integração!

Passo 2

A região de integração é uma esfera. Em coordenadas esféricas temos x = ρ s e n ϕ c o s θ ; y = ρ s e n ϕ s e n θ   e   z = ρ c o s ϕ . No plano x y temos um círculo de raio R . Assim os limites das variáveis são:

0 ≤ ϕ ≤ π 0 ≤ ρ ≤ R 0 ≤ θ ≤ 2 π

E o diferencial de volume vai ser d V = ρ 2 s e n ϕ d ρ d ϕ d θ

O divergente do campo na nova parametrização é ∇ ⋅ F → = 12 ρ 3 c o s ϕ

Agora é só colocar na integral!

Passo 3

∭ E ∇ ⋅ F → d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 R 12 ρ 5 c o s ϕ s e n ϕ d ρ d ϕ d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 12 R 6 6 c o s ϕ s e n ϕ d ϕ d θ    

∭ E ∇ ⋅ F → d V = ∫ 0 2 π 2 R 6 s e n 2 ϕ 2 0 π d θ = 0

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 0

Resposta

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 0

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