Enunciado

Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro t dado.

r t = cos ⁡ t   i + 3 t   j + 2   s e n   2 t   k ,                           t = 0

Passo 1

O vetor tangente unitário de uma função vetorial é dado por

T t = r ' t r ' t

Por isso, devemos determinar o módulo e valor do vetor tangente no ponto t = 0 .

Assim, primeiramente, vamos determinar o vetor tangente derivando o vetor original da seguinte forma

r ' t = d d t cos ⁡ t ,   d d t 3 t ,   d d t 2   s e n   2 t

r ' t = ( - s e n   t ,   3 ,   4 cos ⁡ 2 t )

Para t = 0 , temos

r ' 0 = ( 0 ,   3 ,   4 )

Passo 2

Agora que já determinamos o valor do vetor tangente no ponto dado, podemos calcular seu módulo nesse mesmo ponto.

r ' t = - s e n   t 2 + 3 2 + 4 cos ⁡ 2 t 2    

r ' 0 = 0 2 + 3 2 + 4 2

r ' 0 = 5

Passo 3

Por fim, só falta substituir os valores calculados na fórmula do vetor tangente unitário T(t):

T 0 = 1 r ' 0 ⋅ r ' ( 0 )

T 0 = 1 5 ⋅ ( 0 ,   3 ,   4 )

T 0 = ( 0 , 3 5 , 4 5 )

Resposta

T ( 0 ) = 3 5   j + 4 5   k

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