Enunciado

Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbólico z = 3 y 2 - x 2 + 2 , e acima do retângulo R = - 1,1 × [ 1 , 2 ] .

Passo 1

O sólido nesse já está com z em função de x   e   y , então é só integrar.

E aí pra achar o volume a gente pode fazer a integral dupla dessa função nos intervalos de R . Assim ó:

∫ - 1 1 ∫ 1 2 3 y 2 - x 2 + 2 d y d x

Passo 2

Beleza, vamos começar integrando em y :

∫ - 1 1 y 3 - x 2 y + 2 y 1 2   d x

∫ - 1 1 8 - 2 x 2 + 4 - ( 1 - x 2 + 2 ) d x

∫ - 1 1 - x 2 + 9   d x

Show! Agora é só integrar em x e pronto!

Passo 3

Em x ...

- x 3 3 + 9 x - 1 1

=   - 1 3 + 9 - 1 3 - 9

=   - 2 3 + 18

= 52 3

Prontinho😉

Resposta

52 3

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Determine o volume do sólido dado.Limitada pelo paraboloide z = x 2 + y 2 + 1 e os planos x = 0 , y = 0 , z = 0 e x + y = 2 .
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Determine o volume do sólido dado.Limitado pelos cilindros x 2 + y 2 = r 2 e y 2 + z 2 = r 2
Utilize uma calculadora gráfica ou um computador para estimar a coordenada x dos pontos de intersecção da curva y = x 4 e y = 3 x - x 2 . Se D é a região limitada por essas curvas, estime ∬ D x d A .
Determine o volume do sólido dado.Limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 e os planos y = z , x = 0 , z = 0 no primeiro octante.