Enunciado

Encontre a área da superfície.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a superfície z = (2)/(3) (x^((3)/(2)) + y^((3)/(2))) sob a região 0 <= x <= 1 , 0 <= y <= 1 .

Passo 2

Com isso, temos:

z = f (x , y) = (2)/(3) (x^((3)/(2)) + y^((3)/(2))) -> f_x = x^(1 // 2) , f_y = y^(1 // 2)

Sendo assim, a área da superfície pode ser escrita como:

A (S) = ∬ sqrt(( sqrt(x) )^2 + (sqrt(y))^2 + 1) d A = ∬ sqrt(x + y + 1) d A

Com a região fornecida no enunciado, podemos reescrever a integral como:

int_0^1 int_0^1 sqrt(x + y + 1) d y d x

Passo 3

Resolvendo a integral obtida no passo anterior temos:

int_0^1 [(2)/(3) (x + y + 1)^(3 // 2)]_(y = 0)^(y = 1) d x = (2)/(3) int_0^1 [(x + 2)^((3)/(2)) - (x - 1)^((3)/(2))] d x

= (2)/(3) [(2)/(5) (x + 2)^((5)/(2)) - (2)/(5) (x + 1)^((5)/(2))]_0^1 = (4)/(15) (3^((5)/(2)) - 2^((5)/(2)) - 2^((5)/(2)) + 1)

E, simplificando, temos:

A (S) = (4)/(15) (3^((5)/(2)) - 2^((7)/(2)) + 1)

Resposta

A (S) = (4)/(15) (3^((5)/(2)) - 2^((7)/(2)) + 1)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área da superfície.A parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 que se encontra dentro do cilindro x 2 + y 2 = a x e acima do plano x y .
Encontre a área da superfície.
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.24- Limitada pelo paraboloide z = 10 - 3 x 2 - 3 y 2 e pelo plano z = 4 .
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.21- Abaixo do parabolóide z = x 2 + y 2 e acima do disco x 2 + y 2 ≤ 9
Represente graficamente o sólido que se encontra entre a superfície z = e - x 2 cos ⁡ x 2 + y 2 e z = 2 - x 2 + y 2 para x ≤ 1 , y ≤ 1 . Use um sistema algébrico computacional para aproximar o volume