Enunciado

Escreva a equação em coordenadas esféricas.

Passo 1

Iremos analisar primeiramente a seguinte equação:

z = x^2 + y^2

Das equações de transformação para coordenadas esféricas, temos:

x = rho s e n varphi cos theta , y = rho s e n varphi s e n theta , z = rho cos varphi , x^2 + y^2 + z^2 = rho^2

Aplicando as equações de transformação, temos:

rho cos varphi = (rho s e n varphi cos theta)^2 + (rho s e n varphi s e n theta)^2

rho c o s varphi = rho^2 s e n^2 varphi cos^2 theta + rho^2 s e n^2 varphi s e n^2 theta

rho c o s varphi = rho^2 s e n^2 varphi ( cos^2 theta + s e n^2 theta )

Da relação fundamental da trigonometria s e n^2 x + cos^2 x = 1 , podemos simplificar a expressãoa anterior, obtendo:

rho c o s varphi = rho^2 s e n^2 varphi

Se considerarmos rho != 0 , podemos simplificar a equação para:

cos varphi = rho s e n^2 varphi -> rho = cot varphi csc varphi

Passo 2

Agora iremos analisar a equação:

z = x^2 - y^2

Substituindo os termos presentes na relação de transformação apresentadas no passo 1, temos:

rho cos varphi = (rho s e n varphi cos theta)^2 - (rho s e n varphi s e n theta)^2

rho c o s varphi = rho^2 s e n^2 varphi cos^2 theta - rho^2 s e n^2 varphi s e n^2 theta

rho cos varphi = rho^2 s e n^2 varphi ( cos^2 theta - s e n^2 theta )

Da soma de ângulos, temos que cos^2 x - s e n^2 x = cos 2 x , sendo assim, reescrevendo a equação anterior:

rho cos varphi = rho^2 s e n^2 varphi cos 2 theta

Se considerarmos rho != 0 , podemos simplificar a equação para:

c o s varphi = rho s e n^2 varphi cos 2 theta

Resposta

rho = cot varphi csc varphi

c o s varphi = rho s e n^2 varphi cos 2 theta

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