Enunciado

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada pela parábola y = x 2 e pela reta y = 1 em torno

  1. Da reta y = 1 .
  2. Da reta y = 2 .
  3. Da reta y = - 1 .

Passo 1

Precisamos obter o volume de um sólido de revolução obtido através da rotação de uma região em relação a retas paralelas a ao eixo y . Para obtermos este volume, precisamos esboçar a região limitada, para identificar se utilizaremos o método dos discos ou dos anéis. Identificado o método e identificado os limites de integração (basta responder uma simples pergunta: qual o valor mínimo e máximo de y na sua região?), só nos resta a parte mais fácil: integrar!!

Passo 2

Vamos começar por esboçar a nossa região limitada pelas curvas.

Em destaque temos a região limitada pelas curvas e em vermelho o nosso eixo de rotação. Como a reta y = - 1 não está sobre um lado da nossa região, vamos utilizar o método dos anéis. Este método nos diz que o volume do sólido é dado pela seguinte integral:

V = ∫ a b A x d x = ∫ a b π R x 2 - r x 2   d x

Em que R x e r ( x ) são funções que definem os raios externos e internos dos anéis transversais ao eixo de rotação. Vamos repetir a nossa figura da região para deixar claro quem são essas curvas!

Agora fica claro quem é a nossa função! Em relação ao nosso sistema de coordenadas inicial, ela é

R x = 1

r x = x 2

Passo 3

Podemos partir logo para a integração agora que determinamos as curvas? A resposta é simples e clara: não!! Calma, não sejamos apressados!

As funções R ( x ) e r ( x ) que obtivemos estão escritas em relação ao nosso sistema de coordenadas original: origem, eixo x e eixo y . Precisamos escrever estas curvas em relação ao nosso eixo de rotação. Para isto, é necessário fazer uma translação vertical. Como o eixo x corresponde à reta y = - 1 transladada para cima em 1 unidade, as nossas funções devem ser transladadas para cima em 1 unidade também! Portanto, temos:

R t x = R x + 1 = x 2 + 1

r t x = r x + 1 = 2

Passo 4

Agora sim! Obtivemos as curvas em relação a nossa reta de rotação e só nos falta determinar os limites de integração. Para isto, basta responder a seguinte pergunta: qual o menor e o maior valor de x na nossa região? Eles são -1 e 1, respectivamente. Agora sim, vamos calcular a nossa integral!

V = ∫ - 1 1 π ( 2 2 - x 2 + 1 2 ) d x

V = ∫ - 1 1 π 4 - [ x 4 + 2 x 2 + 1 ] d y

V = ∫ - 1 1 π 3 - 2 x 2 - x 4 d y

V = π 3 x - 2 x 3 3 - x 5 5 - 1 1 = 2 π 3 - 2 3 - 1 5

V = 64 π 15

Resposta

V = 64 π 15

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