Enunciado

Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x

y = sec ⁡ x

y = 0

x = - π 4

x = π 4

Passo 1

A curva que ele deu é:

y = sec ⁡ x

Vamos fazer o esboço limitando com os valores de x e y que ele deu. Olha como é o esboço:

A região é entre a curva verde e a azul, limitada inicialmente pela laranja e no final pela vermelha.

Entao a região vai de x = - π 4 até x = π 4 . Onde o raio do disco vai ser a função verde:

r x = sec ⁡ x

O volume vai ser:

V = ∫ - π 4 π 4 π sec ⁡ x 2 d x

V = ∫ - π 4 π 4 π sec 2 ⁡ x d x

Passo 2

Vamos resolver essa integral:

V = ∫ - π 4 π 4 π sec 2 ⁡ x d x

V = π ∫ - π 4 π 4 sec 2 ⁡ x d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ sec 2 ⁡ x d x = tg ⁡ x + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V = π ∫ - π 4 π 4 sec 2 ⁡ x d x = π tg ⁡ x - π 4 π 4 =

π tg ⁡ π 4 - π tg ⁡ - π 4 =

Lembrando que:

tg ⁡ π 4 = 1

tg ⁡ - π 4 = - 1

Vamos ter:

π 1 - π - 1 =

π + π

2 π

Resposta

2 π

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