Enunciado

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x,y), tais que :

0 ≤ x ≤ 1 e x ≤ y ≤ 3

Passo 1

Nessa questão diferentemente das anteriores, teremos uma abordagem um pouco diferente! Mas por quê????

Pelo Simples fato de que y não está limitado pela função y = 0 , vamos ver como fica e tenho certeza que você terá entendido.

Faremos um gráfico para cada lado dessa inequação:   x ≤ y ≤ 3 . Como assim??

Assim ó: um gráfico de x ≤ y e outro de y ≤ 3 , facilitará muitooo a visualização!

Inicialmente iremos fazer um esboço dos gráficos da questão:

0 ≤ x ≤ 1

x ≤ y

y = 3

E agora a interseção de verde:

Passo 2

Extraindo coisas importantes do gráfico:

Primeiro o intervalo de integração, que será de 0 ≤ x ≤ 1

Pelo gráfico podemos perceber que o Volume da figura rotacionada será dada pela diferença entre o volume da figura rotacionada pelas regiões:

V 1 : y ≤ 3

V 2 : x ≤ y

Passo 3

Nesse passo faremos a integral, como vimos no passo 2, teremos que fazer uma integral para cada volume( V 1   e   V 2 ) e depois diminuí-las:

V 1 ( y = 3 ; y 2 = 9 ) :

π ∫ 0 1 9 d x = 9 π x 1 0 = 9 π

V 2 ( y = x ; y 2 = x ) :

π ∫ 0 1 x d x = π x 2 2 1 0 = 1 2 π

Finalmente, Ufaaaa, podemos calcular o volume pedido:

V = V 1 - V 2 = 9 π - 1 2 π = 17 π 2

Resposta

V = 17 π 2

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