Enunciado

Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x

Região, no primeiro quadrante, limitada acima pela reta y = 2 . Abaixo pela curva y = sec ⁡ x tg ⁡ x e à esquerda pelo eixo y , em torno da reta y = 2

Passo 1

A curva que ele deu é:

y = sec ⁡ x tg ⁡ x

Junto com a reta:

y = 2

Vamos fazer o esboço limitando com os valores de x e y que ele deu. Olha como é o esboço:

A região é entre a curva verde e a vermelha, limitada inicialmente pela laranja e no final pelo encontro da vermelha com a verde. Vamos determinar o valor de x para esse encontro:

sec ⁡ x tg ⁡ x = 2

Lembrnando que:

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

E

tg ⁡ x = sen ⁡ x cos ⁡ x

Vamos ter:

1 cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x = 2

sen ⁡ x cos 2 ⁡ x = 2

sen ⁡ x = 2 cos 2 ⁡ x

Usando a relação fundamental da trigonometria:

sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 → cos 2 ⁡ x = 1 - sen 2 ⁡ x

sen ⁡ x = 2 1 - sen 2 ⁡ x

Vamos fazer

sen ⁡ x = a

Para ajudar as nossas contas:

a = 2 1 - a 2

a = 2 - 2 a 2

2 a 2 + a - 2 = 0

Usando Bhaskaras:

a = - 1 ± 1 2 - 4 2 - 2 2 . 2

a = - 1 ± 1 2 + 4.2 2 . 2

a = - 1 ± 1 + 8 2 . 2

a = - 1 ± 9 2 . 2

a = - 1 ± 3 2 2

a = - 4 2 2 = - 2 2

E

a = 2 2 2 = 1 2

Vamos racionalizar os dois valroes para ajudar quando jogarmos no seno

a = - 2 2 = - 2 2 2 2 = - 2 2 2 = - 2

a = 1 2 = 1 2 2 2 = 2 2

Como a na verdade é sen ⁡ x , só vamos pegar o segundo valor, porque o primeiro é menor que - 1 , então não existe esse seno.

sen ⁡ x = 2 2

Vamos pegar o primeiro valor positivo que isso acontece, que vai ser:

x = π 4

Entao a região vai de x = 0 até x = π 4 .

Passo 2

Agora temos que ficar atentos ao raio de rotação. Ele vai ser a distância da curva verde até o eixo de rotação, que é y = 2 , assim vamos ter:

r x = 2 - sec ⁡ x tg ⁡ x

Porque é o valor de y do eixo de rotação menos a função para ter a distância.

O volume vai ser:

V = ∫ 0 π 4 π 2 - sec ⁡ x tg ⁡ x 2 d x

V = ∫ 0 π 4 π 2 - 2 2 sec ⁡ x tg ⁡ x + sec 2 ⁡ x tg 2 ⁡ x d x

Passo 3

Vamos resolver essa integral:

V = ∫ 0 π 4 π 2 - 2 2 sec ⁡ x tg ⁡ x + sec 2 ⁡ x tg 2 ⁡ x d x

V = π ∫ 0 π 4 2 - 2 2 sec ⁡ x tg ⁡ x + sec 2 ⁡ x tg 2 ⁡ x d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ 2 - 2 2 sec ⁡ x tg ⁡ x + sec 2 ⁡ x tg 2 ⁡ x d x

Usando as propriedades de integrais:

∫ 2 - 2 2 sec ⁡ x tg ⁡ x + sec 2 ⁡ x tg 2 ⁡ x d x = ∫ 2 d x - ∫ 2 2 sec ⁡ x tg ⁡ x d x + ∫ sec 2 ⁡ x tg 2 ⁡ x d x =

2 x - 2 2 ∫ sec ⁡ x tg ⁡ x d x + ∫ sec 2 ⁡ x tg 2 ⁡ x d x

Como

∫ sec ⁡ x tg ⁡ x d x = sec ⁡ x

Vamos ter:

2 x - 2 2 ∫ sec ⁡ x tg ⁡ x d x + ∫ sec 2 ⁡ x tg 2 ⁡ x d x = 2 x - 2 2 sec ⁡ x + ∫ sec 2 ⁡ x tg 2 ⁡ x d x

Vamos resolver aquela última integral separadamente.

Passo 4

∫ sec 2 ⁡ x tg 2 ⁡ x d x

Vamos usar substituição simples:

a = tg ⁡ x → d a = sec 2 ⁡ x d x

Assim, nossa integral fica:

∫ sec 2 ⁡ x tg 2 ⁡ x d x = ∫ a 2 d a

Resolvendo a integral em a

∫ a 2 d a = a 3 3 + C

Voltando para x

a 3 3 + C = tg ⁡ x 3 3 + C = tg 3 ⁡ x 3 + C

Passo 5

Nossa integral indefinida vai terminar como:

2 x - 2 2 sec ⁡ x + tg 3 ⁡ x 3 + C

Voltando para a nossa integral definida:

V = π ∫ 0 π 4 2 - 2 2 sec ⁡ x tg ⁡ x + sec 2 ⁡ x tg 2 ⁡ x d x = π 2 x - 2 2 sec ⁡ x + tg 3 ⁡ x 3 0 π 4 =

π 2 π 4 - 2 2 sec ⁡ π 4 + tg 3 ⁡ π 4 3 - π 2 0 - 2 2 sec ⁡ 0 + tg 3 ⁡ 0 3 =

π 2 π 4 - 2 2 sec ⁡ π 4 + tg 3 ⁡ π 4 3 - π - 2 2 =

Lembrando que:

tg ⁡ π 4 = 1

sec ⁡ π 4 = 1 sen ⁡ π 4 = 1 2 2 = 2 2

Vamos ter:

π 2 π 4 - 2 2 2 2 + 1 3 3 + 2 2 π =

π π 2 - 4 + 1 3 + 2 2 π =

π π 2 + - 12 + 1 3 + 2 2 π =

π π 2 - 11 3 + 2 2 π =

π 2 2 - 11 π 3 + 2 2 π

Resposta

π 2 2 - 11 π 3 + 2 2 π

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