Enunciado

Determine o volume do sólido obtido com a rotação de cada região em torno do eixo dado. A região é a região, no segundo quadrante, limitada acima pela curva y = - x 3 , abaixo pelo eixo x e à esquerda pela reta x = - 1 em torno da reta x = - 2 .

Passo 1

Temos que obter o volume de um sólido de revolução formado pela rotação de uma região em torno de uma reta paralela ao eixo y . Este caso também é semelhante ao cálculo de volume obtido pela rotação de uma curva em torno do eixo y . A integral que devemos calcular continua sendo a que aprendemos nesta seção. Isto é:

V = ∫ c d A y d y = ∫ c d π R y 2 - r y 2 d y

Entretanto, nós só precisamos fazer uma adaptação. Muito cuidado nessa hora!!! Os raios externos e internos R y e r y devem ser dados em relação ao nosso novo eixo, o qual neste caso é x = - 2 .

Passo 2

Vamos começar por esboçar a nossa região limitada pelas curvas.

Em destaque temos a região limitada pelas curvas. Temos que descobrir agora quem são essas funções que definem os raios externos e interno.

Passo 3

Inicialmente, iremos determinar as curvas em relação ao nosso eixo y . Posteriormente, faremos uma translação horizontal da função. Começando pela curva R ( y ) , ela é a curva que limita nossa região à direita. Segundo o enunciado da própria questão, ela é:

y = - x 3

Isolando o x na função, obtemos:

R y = - y 3

Já para a curva r ( y ) , é a reta que limita a nossa região à esquerda. Pelo enunciado, sabemos que:

r y = - 1

Passo 4

Agora, temos que escrever as curvas R ( y ) e r ( y ) em relação ao nosso eixo de rotação, a reta x = - 2 . Para isto, basta verificar que o eixo y corresponde à reta x = - 2 transladada para a direita em duas unidades. Portanto, precisamos transladar as nossas curvas R ( y ) e r ( y ) para a direita em duas unidades. Desta forma, vamos obter as seguintes funções

R t y = R y + 2 = 2 + - y 3

r t y = r y + 2 = 1

Passo 5

Agora já obtivemos as curvas em relação ao eixo x = - 1 , nos falta apenas determinar os limites de integração. Para isto, basta responder a seguinte pergunta: qual o menor e o maior valor de y na nossa região? Eles são 0 e 1, respectivamente. Agora sim, vamos calcular a nossa integral!

V = ∫ 0 1 π 2 + - y 3 2 - 1 2 d y

V = ∫ 0 1 π 4 - 4 y 1 3 + y 2 3 - 1 d y

V = ∫ 0 1 π 3 - 4 y 1 3 + y 2 3 d y

V = π 3 y - 3 y 4 3 + 3 y 5 3 5 0 1 = π 3 - 3 + 3 5

V = 3 π 5

Resposta

V = 3 π 5

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A região limitada pela curva y = tg ⁡ x , pela reta x = π 3 e pelo eixo x é gira em torno do eixo x . Ache o volume do sólido gerado.
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por um arco da curva do seno em torno do eixo x .
A região limitada pela curva y = sec ⁡ x , pelo eixo x , pelo eixo y e pela reta x = π 4 gira em torno do eixo x . Ache o volume do sólido gerado.
A região limitada pelo eixo y e pelas curvas y = sen ⁡ x e y = cos ⁡ x para 0 ≤ x ≤ π 4 é girada em torno do eixo x . Ache o volume do sólido gerado.
Ache o volume do sólido gerado pela rotação de um arco da senóide em torno do eixo x .