Enunciado

Determineasfórmulas para   f + g ,   f - g , f g e f / g e obtenha os domínios das funções.

27) f x = 2 x - 1 , g x = x - 1

Passo 1

Bom, nessa questão vamos usar as propriedades dadas lá no início do capítulo:

f + g x = f x + g x

f - g x = f x - g ( x )

f g x = f x g x

( f / g ) ( x ) = f ( x ) / g ( x )

Dessa forma, os domínios de f + g , f - g e f g serão a intersecção dos domínio de f e g . E o domínio de f / g também será a intersecção dos domínios de f e g , porém devemos excluir os valores de x onde g x = 0 , para não ocorrer uma divisão por 0 . Show?? Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, vamos ver quais são os domínios de f e g . Temos que procurar por divisões por zero e raízes negativas!

f x = 2 x - 1

A única coisa que restringe o nosso domínio é a raiz quadrada, pois não podemos ter um valor negativo dentro dela. Então:

x - 1 ≥ 0

x ≥ 1

Logo, o domínio de f é:

1 , + ∞

E:

g x = x - 1

A única coisa que restringe o nosso domínio é a raiz quadrada, pois não podemos ter um valor negativo dentro dela. Então:

x - 1 ≥ 0

x ≥ 1

Logo, o domínio de g é:

1 , + ∞

Opa! Os domínios de f e g são iguais! Dessa forma, a intersecção dos domínios é o próprio domínio de qualquer uma das duas!

[ 1 , + ∞ )

Passo 3

Primeiro, faremos f + g :

Vamos somar as duas funções!!

f + g = 2 x - 1 + x - 1

f + g = 3 x - 1

Essa será a nossa função. E o domínio? Só lembrar do que falamos no primeiro passo: o domínio será a intersecção (calculada no passo 2):

[ 1 , + ∞ )

Passo 4

Agora f - g :

Vamos subtrair as duas funções!!

f - g = 2 x - 1 - x - 1

f - g = x - 1

Essa será a nossa função. E o domínio? Só lembrar do que falamos no primeiro passo: o domínio será a intersecção (calculada no passo 2):

[ 1 , + ∞ )

Passo 5

Agora f g :

Vamos multiplicar as duas funções!!

f g = 2 x - 1 x - 1

f g = 2 x - 1 2

f g = 2 x - 1

f g = 2 x - 2

Prontinho! Essa será a nossa função. E o domínio? Só lembrar do que falamos no primeiro passo: o domínio será a intersecção (calculada no passo 2):

[ 1 , + ∞ )

Passo 6

Por último, f / g :

Vamos dividir as duas funções!!

f / g = 2 x - 1 x - 1

Simplificando as raízes:

f / g = 2

Prontinho! Essa será a nossa função. E o domínio? Só lembrar do que falamos no primeiro passo: o domínio será a intersecção (calculada no passo 2):

[ 1 , + ∞ )

Só que, nesse caso, também devemos excluir do domínio todos os valores de x que tornem g x = x - 1 = 0 . O único valor em que isso acontece é x = 1 , então, vamos excluí-lo do domínio:

( 1 , + ∞ )

Resposta

(a) f + g = 3 x - 1 ; [ 1 , + ∞ )

(b) f - g = x - 1 ; [ 1 , + ∞ )

(c) f g = 2 x - 2 ; [ 1 , + ∞ )

(d) f / g = 2 ; ( 1 , + ∞ )

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