Enunciado

Determineasfórmulas para   f + g ,   f - g , f g e f / g e obtenha os domínios das funções.

27) f x = x 1 + x 2 , g x = 1 x

Passo 1

Bom, nessa questão vamos usar as propriedades dadas lá no início do capítulo:

f + g x = f x + g x

f - g x = f x - g ( x )

f g x = f x g x

( f / g ) ( x ) = f ( x ) / g ( x )

Dessa forma, os domínios de f + g , f - g e f g serão a intersecção dos domínio de f e g . E o domínio de f / g também será a intersecção dos domínios de f e g , porém devemos excluir os valores de x onde g x = 0 , para não ocorrer uma divisão por 0 . Show?? Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, vamos ver quais são os domínios de f e g . Temos que procurar por divisões por zero e raízes negativas!

f x = x 1 + x 2

A única coisa que restringe o nosso domínio é denominador, pois não podemos ter uma divisão por 0 . Então:

1 + x 2 ≠ 0

x 2 ≠ - 1

Como nossa função está definida nos números reais, apenas, não precisamos nos preocupar com essa restrição! Pois não existe número dentro dos reais em que x 2 ≠ - 1 , já que qualquer número ao quadrado seria positivo. Logo, o domínio de f é:

( - ∞ , + ∞ )

E:

g x = 1 x

A única coisa que restringe o nosso domínio é denominador, pois não podemos ter uma divisão por 0 . Então:

x ≠ 0

Logo, o domínio de g é:

- ∞ , 0 ∪ ( 0 , + ∞ )

Ou seja, qualquer número, excluindo o 0 .

Dessa forma, a intersecção dos domínios é olhar para o domínio com mais restrições! Como f não tem restrição, a intersecção dos dois domínios vai ser o próprio domínio de g :

- ∞ , 0 ∪ ( 0 , + ∞ )

Só a gente pensar: quais valores que os dois intervalos têm em comum? Bom, um pega todos os números (positivos e negativos) e o outro não pega 0 , certo? Então, o 0 é o único que não aparece nos dois intervalos ao mesmo tempo.

Passo 3

Primeiro, faremos f + g :

Vamos somar as duas funções!!

f + g = x 1 + x 2 + 1 x

Essa será a nossa função. E o domínio? Só lembrar do que falamos no primeiro passo: o domínio será a intersecção (calculada no passo 2):

- ∞ , 0 ∪ ( 0 , + ∞ )

Passo 4

Agora f - g :

Vamos subtrair as duas funções!!

f - g = x 1 + x 2 - 1 x

Essa será a nossa função. E o domínio? Só lembrar do que falamos no primeiro passo: o domínio será a intersecção (calculada no passo 2):

- ∞ , 0 ∪ ( 0 , + ∞ )

Passo 5

Agora f g :

Vamos multiplicar as duas funções!!

f g = x 1 + x 2 1 x

Simplificando o x que aparece no numerador e no denominador

f g = 1 1 + x 2

Prontinho! Essa será a nossa função. E o domínio? Só lembrar do que falamos no primeiro passo: o domínio será a intersecção (calculada no passo 2):

- ∞ , 0 ∪ ( 0 , + ∞ )

Passo 6

Por último, f / g :

Vamos dividir as duas funções!!

f / g = x 1 + x 2 1 x

Arrumando essa divisão:

f / g = x 1 + x 2 x

f / g = x 2 1 + x 2

Prontinho! Essa será a nossa função. E o domínio? Só lembrar do que falamos no primeiro passo: o domínio será a intersecção (calculada no passo 2):

- ∞ , 0 ∪ ( 0 , + ∞ )

Só que, nesse caso, também devemos excluir do domínio todos os valores de x que tornem g x = 1 x = 0 . Como não temos valores que façam isso, então, o domínio não muda:

- ∞ , 0 ∪ ( 0 , + ∞ )

Resposta

(a) f + g = x 1 + x 2 + 1 x ; - ∞ , 0 ∪ ( 0 , + ∞ )

(b) f - g = x 1 + x 2 - 1 x ; - ∞ , 0 ∪ ( 0 , + ∞ )

(c) f g = 1 1 + x 2 ; - ∞ , 0 ∪ ( 0 , + ∞ )

(d) f / g = x 2 1 + x 2 ; - ∞ , 0 ∪ ( 0 , + ∞ )

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