Enunciado

O diâmetro de uma árvore era de 10 polegadas. No ano seguinte, a circunferência aumentou 2 polegadas. Qual foi a variação aproximada do diâmetro da árvore? E da área da seção transversal?

Passo 1

  • Variação do diâmetro:
  • Temos que a variação de uma função f ( x ) é dada por: f ' x 0 d x , em que x 0 é o valor inicial da variável e d x é a variação da variável.

    Sabemos que o comprimento da circunferência é dada por: C = 2 π r .

    E que o diâmetro é o dobro do raio, certo? Vamos substituir o r na nossa fórmula então por D 2 ...

    C = 2 π D 2 = π D

    A variação da circunferência então é dada por: d C = π   d D , em que d C é a variação da circunferência e d D é a variação do diâmetro.

    Ótimo! Agora só temos que perceber qual variação queremos. Perceba que o enunciado nos deu a variação da circunferência (2 p) , e nos pediu a variação do diâmetro.

    Então:

    2 = π   d D

    d D = 2 π

    Que é a variação aproximada do diâmetro.

    Passo 2

  • Variação da área da seção transversal:

Primeiramente, o tronco da árvore tem o formato de um cilindro, logo queremos a área da seção transversal do cilindro. Mas o que é seção transversal? Bom, no cilindro é a interseção do cilindro com um plano paralelo à base. Assim:

Então, o que temos que fazer é calcular a variação da área do círculo com diâmetro inicial de 10 polegadas e com uma variação de 2 polegadas depois.

Usando o mesmo raciocínio do item anterior, temos:

A = π r 2 = π D 2 2

d A = 2 π D 0 4 d D

d A = π 10 2 2 = 10 π   p

Que é a variação da área da seção transversal.

Resposta

d D = 2 π   p e 10 π   p .

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