Diferencie a função dada

F(x) = log(x^2\*2^(x^2+1))

Passo 1

Vamos relembrar algumas Propriedades de Derivadas

d d x   f   o   g a x = f ' g a x .   g ' a x .   a   ;   Sendo “a” uma constante.

d d x   x n = n   x n - 1  

d d x   a f ( x ) = l n a   .   a f ( x ) .   d d x f ( x )  

d d x   f ( x )   .   g ( x )   = f ' g + g ' f   [ R e g r a   d a   C a d e i a ]

Propriedade do Expoente

a b = e b ln ⁡ a

Passo 2

Vamos primeiro transformar log em ln

d d x   log ⁡ ( x 2 2 x 2 + 1 )   = 1 l n 10 d d x ln ⁡ ( x 2 2 x 2 + 1 )

Fazendo u = ln ⁡ x 2 2 x 2 + 1 , Vamos usar a regra da cadeia.

Ln u = 1 u   .   u '

Logo nossa derivada fica :

1 x 2 2 x 2 + 1   .   d d x   ( x 2 2 x 2 + 1 )

Agora vamos Calcular   d d x   ( x 2 2 x 2 + 1 )

Usando novamente a regra da cadeia temos :

2x . 2 x 2 + 1 + x². d d x 2 x 2 + 1

Sabendo que   2 x 2 + 1 = e x 2 + 1 ln ⁡ 2

Logo

d d x 2 x 2 + 1   =   d d x e x 2 + 1 ln ⁡ 2   =   l n 2   .   2 x .   e x 2 + 1 ln ⁡ 2    

= 2 x   .   l n   2   .     2 x 2 + 1  

Passo 3

Logo d d x   log ⁡ x 2 2 x 2 + 1   =   1 l n 10   .   1 x 2 2 x 2 + 1   .   ( 2x . 2 x 2 + 1   + x ² .   2 x   .   l n   2   .     2 x 2 + 1   )  

Simplificando as expressões temos que :

= 2 ln ⁡ 2 x 2 + 1 ln ⁡ 10 x

Resposta

d d x log ⁡ ( x 2 2 x 2 + 1 )     = 2 ln ⁡ 2 x 2 + 1 ln ⁡ 10 x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados