Enunciado

Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região do Exercício 27 em torno da reta x = 1 .

Passo 1

Bom no exercício 27, a região era limitada pela curva y = 3 x - x 3 de vermelho na imagem abaixo e pela reta x = 1 de roxo:

Então aplicaremos a equação do volume por invólucro cilíndrico:

V = 2 π ∫ a b x f x d x

Passo 2

A diferença aqui em relação ao exercício anterior é que a rotação não será mais em torno do eixo y, mas sim da reta x = 1 . Com isso, precisamos substituir o x que está multiplicando a função f(x) por 1 - x , os limites de integração serão x = 0 por causa da curva e x = 1 por causa da reta. Então podemos escrever a equação de volume da seguinte maneira:

V = 2 π ∫ 0 1 1 - x 3 x - x 3 d x

Passo 3

Vamos resolver a integral para obtermos o volume, reescrevendo ela:

V = 2 π ∫ 0 1 3 x - 3 x 2 - x 3 + x 4 d x

Integrando cada termo:

V = 2 π 3 2 x 2 - x 3 - 1 4 x 4 + 1 5 x 5 1 0

Substituindo os limites de integração:

V = 2 π 3 2 - 1 - 1 4 + 1 5 = 9 10 π

Resposta

V = = 9 10 π

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