Enunciado

Um buraco com 2 cm de raio é feito através de um sólido esférico de 6 cm de raio e o eixo do buraco é um diâmetro da esfera. Ache o volume da parte que sobra da esfera.

Passo 1

Certo, vamos fazer um esboço de apenas uma fatia da esfera, onde o furo está no eixo y, cruzando a esfera toda:

Ao rotacionarmos essa região inteira, vamos obter o volume da esfera em torno do eixo y. Usaremos a equação de volume por invólucro cilíndrico:

V = 2 π ∫ a b x f x d x

Passo 2

Primeiro precisamos escrever uma função que descreva a nossa região, como é uma parte de uma circunferência de raio 6 cm, vamos escrever a equação para a circunferência:

x 2 + y 2 = 6 2

Reescrevendo em termos de x, ao fazermos isso, a função deveria ser escrita da seguinte forma:

f x = y = ± 36 - x 2

Para considerarmos a parte negativa e a parte positiva da função na integral, para que todo o semi-círculo seja integrado, vamos precisar multiplicar por dois o módulo de f(x). Ficamos então com:

f x = y = 2 36 - x 2

Os limites de integração vão desde o raio do buraco até o raio da esfera, então nossa equação de volume ficará:

V = 2 π ∫ 2 6 2 x 36 - x 2 d x

Passo 3

Resolvendo primeiro a integral indefinida:

2 π ∫ 2 x 36 - x 2 d x

Faremos primeiro a substituição:

u = 36 - x 2 → d u = - 2 x d x

Nossa integral fica:

- 2 π ∫ u d u

Integrando:

- 4 π 3 u 3 2 + c

Voltando para x:

- 4 π 3 36 - x 2 3 2 + c

Substituindo os limites de integração:

V = - 4 π 3 36 - 36 3 2 - 36 - 4 3 2

V = 4 π 3 32 3 2

V = 512 π 2 3

Resposta

V = 512 π 2 3

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4. Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação em torno do eixo y da região limitada pelas curvas dadas. Esboce a região e uma casca típica. y = x 2 ,y = 0 ,x = 1
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação em torno do eixo y da região limitada pelas curvas dadas. Esboce a região e uma casca típica. y = 1 x ,y = 0 ,x = 1 ,x = 2